Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 4 Теорема о треугольникахСледующая важная теорема аффинной геометрии — это теорема о треугольниках. Мы воздержимся от строго обоснованного ее изложения, поскольку оно слишком длинно, и постараемся в какой-то степени объяснить эту теорему наглядно, выделив три основных, легко доступных момента.
Рис. 15 выполненные одно за другим, порождают третье преобразование, которое, как легко видеть, тоже аффинное. В самом деле, во-первых, соответствие, возникшее в результате сначала аффинного преобразования
На числовой оси I (рис. 16) устанавливаем соответствие следующим образом: каждой точке с координатой а ставим в соответствие точку
Рис. 16 Затем возьмем на плоскости вторую прямую При этом соответствии Любая прямая, например прямая Клейн советовал при изучении математики искать удобные и простые пути. Если это наглядное изложение вам показалось трудным, мы предлагаем другой — координатный — метод задания такого аффинного преобразования.
Рис. 17 Возьмем на плоскости, как делается в школьных учебниках математики, взаимно перпендикулярные числовые оси Ох и Оу. Тогда точки плоскости можно задавать парами действительных чисел
При соответствии
Координаты точек на прямых, пересекающих ось
Рис. 18 и поэтому
Рис. 19 Аффинное преобразование, изменяющее угол, разумеется, можно не только описать таким наглядным способом, но и точно задать при помощи координат. Рассмотрим аффинное преобразование (рис. 20)
Точка начало координат О является неподвижной точкой. Как видно из Учитывая замечание
Рис. 20 Это можно показать конкретно, последовательно выполняя промежуточные преобразования. Сначала переносом совместим вершину взятого наугад треугольника 1. Посредством подходящего параллельного переноса точку Вспомним, что параллельный перенос евклидовой плоскости является аффинным преобразованием. 2. Вращением вокруг центра А прямую 3. Посредством преобразования вида 4. Посредством преобразования вида 5. При помощи преобразования опять вида
Рис. 21
Таким образом, проведя одно за другим аффинные преобразования, указанные в пунктах 1—5, добиваемся совмещения нашего
Рис. 22 треугольника с равносторонним треугольником. Как было отмечено в пункте
Рис. 23 Мы так подробно рассказали о теореме, утверждающей, что все треугольники между собой аффинно эквивалентны, потому что она является основной теоремой, непосредственно показывающей различие между евклидовой и аффинной геометриями. В реальном мире у каждого из отрезков есть своя длина, которую можно измерить, если выбрать среди них единицу масштаба (например, эталон метра). И как бы мы отрезок ни перемещали, длина его будет одна и та же. Поэтому в основе евклидовой геометрии лежит положение о том, что длина отрезка при произвольном перемещении в пространстве сохраняется (конгруэнтность фигур). В аффинной геометрии, поскольку два любых отрезка можно совместить, единицы масштаба нет. Однако такие свойства, как прямолинейное расположение трех точек или параллельность двух прямых, инвариантны не только в евклидовой, но и в аффинной геометрии. Очень важно отметить, что в аффинной геометрии хотя и не рассматривается длина отрезка, но тем не менее сравнивают между собой параллельные отрезки. Немного остановимся на этом. Если построить два параллелограмма, как на рис. 24, то имеем:
Рис. 24 Можно получить и более общее сравнение, а именно для любых двух отрезков
Рис. 25 которое фигурирует в метрике Кэли в неевклидовой геометрии. При определении ангармонического отношения длина несущественна, и это, с математической точки зрения, является очень важным обстоятельством. К сожалению, мы не можем остановиться на этом подробнее.
|
1 |
Оглавление
|