§ 4 Теорема о треугольниках

Следующая важная теорема аффинной геометрии — это теорема о треугольниках. Мы воздержимся от строго обоснованного ее изложения, поскольку оно слишком длинно, и постараемся в какой-то степени объяснить эту теорему наглядно, выделив три основных, легко доступных момента.

Два аффинных преобразования,

Рис. 15

выполненные одно за другим, порождают третье преобразование, которое, как легко видеть, тоже аффинное.

В самом деле, во-первых, соответствие, возникшее в результате сначала аффинного преобразования а затем преобразования очевидно, является взаимно однозначным. Во-вторых, прямая а сначала переходит в прямую которая в свою очередь посредством аффинного преобразования 2 переходит в прямую Таким образом

Построим такое аффинное преобразование, при котором находящиеся на некоторой прямой точки остаются неподвижными, а совокупность прямых с некоторым определенным направлением, пересекающим данную прямую, сжимается или растягивается в одном и том же отношении. Для определенности будем строить преобразование сжатия.

На числовой оси I (рис. 16) устанавливаем соответствие следующим образом: каждой точке с координатой а ставим в соответствие точку Это соответствие, переводящее прямую I в саму себя, является взаимно однозначным:

Рис. 16

Затем возьмем на плоскости вторую прямую пересекающую I под прямым для простоты углом. Условимся, что точки на прямой остаются на месте, а. во множестве точек каждой прямой, перпендикулярной к устанавливается, как и на прямой соответствие Таким образом, получается взаимно однозначное соответствие между точками евклидовой плоскости

При этом соответствии Любая прямая, например прямая переходит в прямую, в данном случае в Следовательно, преобразование является частным случаем аффинного преобразования плоскости

Клейн советовал при изучении математики искать удобные и простые пути. Если это наглядное изложение вам показалось трудным, мы предлагаем другой — координатный — метод задания такого аффинного преобразования.

Рис. 17

Возьмем на плоскости, как делается в школьных учебниках математики, взаимно перпендикулярные числовые оси Ох и Оу. Тогда точки плоскости можно задавать парами действительных чисел Давайте зададим взаимно однозначное соответствие точек плоскости следующим образом:

При соответствии точки на оси остаются на месте

Координаты точек на прямых, пересекающих ось под прямым углом, уменьшаются наполовину. Посредством преобразования каждая прямая переводится также в прямую

Рис. 18

и поэтому представляет собой аффинное преобразование.

Построим теперь аффинное преобразование переводящее некоторый угол в другой произвольной величины угол Например, если рассматривать не только сжатия к некоторой прямой, но и соответственно растяжения, то угол между прямой и осью будет изменяться в широких пределах (см. рис. 17).

Рис. 19

Аффинное преобразование, изменяющее угол, разумеется, можно не только описать таким наглядным способом, но и точно задать при помощи координат.

Рассмотрим аффинное преобразование (рис. 20)

Точка отображается в точку с координатами Угол, образованный осью и прямой составляет половину прямого, а угол между осью и прямой зависит от того, какие взяты числа При этом аффинном преобразовании только

начало координат О является неподвижной точкой.

Как видно из и длины отрезков, величины углов и другие метрические величины евклидовой геометрии весьма свободно изменяются при аффинных преобразованиях. Поэтому абсолютные их значения не играют роли.

Учитывая замечание и применяя преобразования вида можно установить, что все треугольники между собой аффинно эквивалентны.

Рис. 20

Это можно показать конкретно, последовательно выполняя промежуточные преобразования. Сначала переносом совместим вершину взятого наугад треугольника с вершиной равностороннего треугольника и затем при помощи аффинного преобразования проведем совмещение (рис. 21).

1. Посредством подходящего параллельного переноса точку совмещаем с точкой А.

Вспомним, что параллельный перенос евклидовой плоскости является аффинным преобразованием. перемещается при этом в (рис. 22).

2. Вращением вокруг центра А прямую наложим на

3. Посредством преобразования вида отрезок совместим с (рис. 23).

4. Посредством преобразования вида угол совмещаем с углом

5. При помощи преобразования опять вида

Рис. 21

отрезок совмещаем с Точки на прямой при этом неподвижны. И следовательно, в итоге получаем совмещение с

Таким образом, проведя одно за другим аффинные преобразования, указанные в пунктах 1—5, добиваемся совмещения нашего

Рис. 22

треугольника с равносторонним треугольником. Как было отмечено в пункте если проводить одно за другим несколько аффинных преобразований, то в результате получится также аффинное преобразование. Иначе говоря, произвольно взятый по нашему усмотрению треугольник совместился с равносторонним треугольником посредством некоторого аффинного преобразования.

Рис. 23

Мы так подробно рассказали о теореме, утверждающей, что все треугольники между собой аффинно эквивалентны, потому что она является основной теоремой, непосредственно показывающей различие между евклидовой и аффинной геометриями.

В реальном мире у каждого из отрезков есть своя длина, которую можно измерить, если выбрать среди них единицу масштаба (например, эталон метра). И как бы мы отрезок ни перемещали, длина его будет одна и та же. Поэтому в основе евклидовой геометрии лежит положение о том, что длина отрезка при произвольном перемещении в пространстве сохраняется (конгруэнтность фигур). В аффинной геометрии, поскольку два любых отрезка можно совместить, единицы масштаба нет. Однако такие свойства, как

прямолинейное расположение трех точек или параллельность двух прямых, инвариантны не только в евклидовой, но и в аффинной геометрии.

Очень важно отметить, что в аффинной геометрии хотя и не рассматривается длина отрезка, но тем не менее сравнивают между собой параллельные отрезки. Немного остановимся на этом.

Если построить два параллелограмма, как на рис. 24, то имеем: Складывая векторы, получаем, что т. е. что отрезок вдвое больше отрезка

Рис. 24

Можно получить и более общее сравнение, а именно для любых двух отрезков и лежащих на одной прямой, можно определить такое действительное число что Хотя это число определяется без привлечения длины, но если бы она рассматривалась, то, очевидно, длина отрезка была бы в X раз больше длины отрезка . С отношением X связано известное в геометрии так называемое ангармоническое отношение,

Рис. 25

которое фигурирует в метрике Кэли в неевклидовой геометрии. При определении ангармонического отношения длина несущественна, и это, с математической точки зрения, является очень важным обстоятельством. К сожалению, мы не можем остановиться на этом подробнее.