Послесловие

В заключении книги мы считаем уместным сделать ряд дополнительных замечаний. Прежде всего несколько слов о цели данной книги. В процессе размышлений над тем, как строить изложение начальных глав этого курса, автор пришел к мысли дать комментарий истории развития геометрии. Не чувствуя себя специалистом в вопросах истории в настоящем смысле этого слова, автор поэтому и не углублялся в подобные проблемы. Что касается недавнего прошлого, то при малейшей возможности автор стремился к тому, чтобы более или менее новые исследования нашли хотя бы частичное отражение в данной работе.

В Японии написано много трудов, посвященных истории геометрии, особенно периоду ее расцвета в Англии. Среди них недавно совместно изданный труд Накамуры, Терахамы и Икэды о началах Евклида. В этой книге следует выделить весьма ценный, по нашему мнению, комментарий о развитии геометрии в Англии, включающий в себя материал о современных исследованиях.

В начальных главах книги излагались главным образом вопросы евклидовой, аффинной, проективной и неевклидовой геометрий. Это как раз те области геометрии, которые наиболее полно соответствуют системе взглядов, изложенных в Эрлангенской программе Клейна. Хотя содержание Эрлангенской программы рассматривается в главе 4, мы старались придерживаться такой формы изложения каждою раздела геометрии, которая в целом отвечала бы этой программе.

В этом ракурсе понятие группы является фундаментальным. Тем не менее мы считаем, что в данном случае достаточно получить не общее представление о ней, из аксиом, а конкретное, на примере групп преобразований. Проведение более тонкого логического анализа относительно того, каким образом алгебраические свойства групп связаны с геометрическими свойствами, представлялось нам здесь слишком трудным.

Поскольку было решено не применять много математических формул, то, соответственно нам пришлось отказаться и от аналитического подхода, ограничившись лишь геометрическим подходом к рассмотрению ряда вопросов.

Поэтому все обычно сводилось к изложению нескольких исходных, основных теорем и к пояснениям общего характера, рассчитанным на непосредственное восприятие. Естественно, трудно ожидать, что могло быть достигнуто полное понимание тех или иных положений геометрии, потому что обоснованное доказательство истинности многих из них опирается очень часто на аналитический (алгебраический) метод. Но нам вбжно было оптимальным образом выразить, подчеркнуть особенности изучения объектов в различных областях геометрии. Именно в этом состояла одна из основных целей данной работы.

Первая глава, посвященная старой геометрии, является подготовительной, так сказать, вводной главой книги. В частности, в § 3 мы ввели понятие множества, хотя при этом и не ставили перед собой цели подробно изложить эту теорию. При изложении евклидовой геометрии

в § 2 мы говорили лишь о тех идеях и точках зрения, которые в обычных школьных курсах не рассматриваются. В основном же содержание геометрии евклидовой плоскости, как мы полагаем, общеизвестно. В частности, именно поэтому не рассматривали вопрос об устройстве евклидовой плоскости. Вместо этого мы дали комментарий, подводящий к тезисам Эрлангенской программы.

Во второй главе, посвященной вопросам аффинной геометрии, был затронут вопрос о связи евклидовых движений и аффинных преобразований.

Говоря о множествах в § 3, мы обращали особое внимание на то, что это не только множества точек на плоскости, но множества, состоящие из элементов произвольной природы. Отмечалась также несомненная важность исследования бесконечных множеств. Следует отметить, правда, что не было дано конкретных примеров множеств, за исключением точечных множеств.

Мы старались как можно лучше осветить вопрос о взаимно однозначном соответствии между элементами двух множеств. Введение кардинальных чисел, на наш взгляд, должно содействовать лучшему пониманию этого вопроса.

В главе 2 мы остановились на геометрических свойствах, связанных с длиной. Мы привели также и определение вектора на аффинной плоскости, на которой задана лишь линейная структура. Что касается аффинных преобразований, то можно было обратиться к простому и обычному в таком случае аналитическому изложению, основанному на введении системы декартовых координат. В этих

координатах аффинное преобразование определяется выражениями первой степени:

где через обозначены вещественные числа, причем Из формул преобразования можно легко вывести основные свойства аффинного преобразования, о которых упоминалось в книге:

1) это точечное соответствие взаимно однозначно;

2) прямой линии соответствует прямая же.

Аналитический метод упрощает рассуждения, а получаемые посредством математических выкладок выводы бесспорны, т. е. представляют собой точное знание в отличие от тех, которые иногда получаются из наглядных соображений. Клейн считал, что для достижения достоверных результатов необходимо применять разные методы, а не избирать один-единственный. Заметим, что сам он широко применял аналитический аппарат как средство описания геометрических свойств. Мы же, заявив, что будем избегать математических формул, тем самым предопределили ограниченность используемых средств. Предоставляя читателю право решать вопрос о правомерности и обоснованности такого подхода, мы со своей стороны полагаем, что подобный подход к сжатому изложению общего характера, рассчитанному на интуицию, вполне оправдан. В этой книге у нас также не было намерения останавливаться на полемике, имевшей место в XIX веке, относительно того,

какой метод более обоснован — аналитический или синтетический. Но подчеркнем только, что геометрический подход по своей сути равносилен аналитическому.

В разделе, посвященном аффинной геометрии, точнее в § 3, мы вводим понятие вектора, исходя из геометрического образа направленного отрезка прямой. Разбивая совокупность всех таких отрезков на классы эквивалентных, мы приходим к определению вектора как класса эквивалентных между собой, направленных отрезков. Это обычный в математике способ. При определении параллелограмма мы не пользовались понятием длины, а брали в качестве условия «попарную параллельность противоположных сторон».

В разделе о проективной геометрии в главе 3 мы попытались довести до сведения читателя вопрос о связи между аффинной и проективной плоскостями. При этом мы определяли проективное преобразование плоскости как преобразование, при котором выполняются следующие условия:

1) это взаимно однозначное преобразование точек проективной плоскости

2) любая прямая на плоскости отображается в прямую.

Приведя основную теорему, мы тем самым подготовили все необходимое для введения проективных координат. Однако от дальнейшего подробного изложения мы отказались вследствие того, что оно оказалось бы чрезмерно длинным. Важным, на наш взгляд, является общее геометрическое определение кривой линии второго порядка, что, как мы полагаем, было несложным для понимания.

Изложение в главе 4 неевклидовой геометрии

построено в соответствии с программой Клейна. Параграф 1 этой главы был посвящен краткому изложению истории следовавших друг за другом открытий в этой области математики. Более подробное изложение истории потребовало бы большого объема.

В очерке о гиперболической геометрии (§ 2) была изложена интерпретация взглядов школы Клейна.

Геометрический цикл завершается комментарием к Эрлангенской программе Клейна, изложенным в § 3.

При рассмотрении топологических вопросов мы исходили из того, что топология представляет собой ветвь геометрии, которая принципиально отличается от тех областей геометрии, которые были изложены выше. Глава 5 представляет собой исторический очерк развития топологии.

В главе 6, по нашему мнению, было возможно объединить две в основе своей отдельные темы - общие вопросы топологии с теорией линий и поверхностей. Изложение существа топологических проблем связано с необходимостью введения абстрактных математических понятий. Поэтому мы старались объяснить суть вопроса на конкретных примерах. Как одно из основных топологических понятий было введено понятие непрерывности. А поскольку обычно встречающееся в математике определение непрерывности опирается на понятие окрестности, то мы, естественно, должны были дать разъяснение и этого понятия.

Определение. Пусть отображение топологического пространства в котором задано расстояние ( метрическое пространство), в метрическое же пространство при

котором точка а пространства переходит в точку пространства Отображение -называется непрерывным в точке а пространства если для любого числя найдется число такое, что -окрестность точки а отображается в -окрестность точки пространства

Если условие непрерывности выполняется для всех точек пространства то говорят что -непрерывное отображение.

Рис. 108

Естественно, величина -окрестности зависит от значения Доказательство непрерывности конкретного отображения сводится к нахождению для произвольно взятой -окрестности -окрестности точки а, удовлетворяющей оговоренным условиям. Это и есть обычно применяемый в математическом анализе метод доказательства на языке

Нами было дано удовлетворительное, на наш взгляд, определение топологического отображения, в котором к взаимной однозначности

добавляется условие взаимной непрерывности. При выяснении вопроса о гомеоморфизме топологических пространств, т. е. при выяснении вопроса о существовании между ними топологического соответствия, возникает очень важная проблема относительно того, какие геометрические свойства (и каким образом, если это так) переносятся при непрерывном отображении пространства. Топология есть геометрия непрерывности (П. С. Александров).

В § 2, рассказывая о кривых линиях, мы вскользь коснулись одной теоремы, которую пока удается доказать только для одномерного случая. Для случая нескольких переменных она представляет проблему и в настоящее время. В частности, здесь имеется в виду теорема Шенфлиса.

В § 3, касающемся теории поверхностей, мы говорили о нормальных формах лишь замкнутых поверхностей. Например, при рассмотрении поверхности тора мы, не затрагивали вопроса о том, что будет, если из него вырезать маленький кружок.

Рис. 109

Обозначив границу кружка через до, получим поверхность с краем до. Аналогично, если вырезать из проективной плоскости маленький кружок, то получим поверхность с краем до, которая есть не что иное, как лист Мёбиуса.

Рассмотрение топологически инвариантных свойств в главе 7 было проиллюстрировано лишь на примере групп гомологий (малой размерности) и фундаментальных групп. Знакомство с группами гомологий осуществлялось на простых конкретных примерах. Однако, поскольку эта тема сложна, дадим дополнительные пояснения общего характера. Рассмотрим в комплексе К -мерные ориентированные симплексы Выберем в комплексе К конечное число -мерных симплексов. Формально составленная сумма ориентированных симплексов

где все коэффициенты целые числа, называется -мерной цепью. Множество всех цепей с произвольными целыми коэффициентами составляет группу цепей по сложению

Граница цепи с определяется следующим образом:

Цепь сграница которой равна называется -мерным пиклом. Множество циклов (обозначим его через содержится в группе Множество является группой -мерной группой циклов) относительно той же операции сложения. Если цикл таков, что существует -мерная цепь для которой является границей: то говорят, что гомологичен нулю: с Этот момент мы разбирали в нашей книге на простом примере.

Объединим все циклы, гомологичные нулю, в один класс Все остальные циклы, не гомологичные нулю, можно распределить по классам так, что в один класс попадают все циклы, гомологичные друг другу. Множество таких классов составляет -мерную группу гомологий комплекса

То, что цепь, с является границей -мерной цепи выражается алгебраически.

Геометрически это, однако, означает, что является границей некоторой части комплекса К.

Следует сказать, что в отличие от групп гомологий фундаментальные группы, которые рассматривались в § 3, некоммутативны, т. е. операция умножения в них не перестановочна (есть случаи, когда в то время как в группе гомологий операция сложения перестановочна:

При объяснении на конкретных примерах значения фундаментальных групп потребовались дополнительные сведения, и все, что, по нашему мнению, в данном случае было необходимо, было разъяснено. Очень важным в этом разделе является понятие гомотопического типа. Связанная с этим классификация топологических пространств по гомотопическим типам — одна из главных задач современной топологии.

Глава 8, посвященная теме многообразия, представляет собой часть лекционного курса и наиболее тесно связана с современной топологией. Эта глава в большей степени требует предварительной подготовки и наиболее трудна для изложения. Теория многообразий, по нашему мнению,— самая современная область геометрии.

Итак, мы в какой-то степени осветили развитие некоторых основных направлений в топологии. Тем, кто питает серьезный интерес к обсуждавшимся вопросам, рекомендуем обратиться к соответствующей литературе.