§ 3 Эрлангенская программа Клейна

В октябре 1872 года Клейн в возрасте всего лишь 23 лет был приглашен на работу в должности профессора университета в городе Эрлангене. Если предоставить слово самому Клейну, он мог бы сказать следующее: «Кроме публичных лекций, которыми вступающий в профессорскую должность как бы представляется своим коллегам, я, следуя установившейся традиции, к моменту вступления подготовил программу (Клейн действительно подготовил программу, в которую он включил план исследований и изложил взгляды на те разделы науки, которые он выбрал для предстоящей работы). Эта традиция хороша, даже если она не преследует других целей, кроме той, как показать, с какими идеями вступает в новую должность молодой профессор. В этот момент необходимо поделиться своими мыслями, взглядами, пусть даже не совсем зрелыми. Что касается меня, то я с публичной лекцией выступил 7 декабря. В ней я рассказал об основных идеях, составляющих канву моих исследований; текст своей программы я передал аудитории».

Клейн написал эту программу в октябре 1872 года, однако ее основные идеи были подготовлены еще в 1871 году. Здесь мы попытаемся дать краткое изложение основных положений программы. В программе Клейна обсуждался вопрос о значении групп не только тех геометрических преобразований, которые затронуты в этой книге, но и наиболее общие взгляды на важность теории групп преобразований вообще.

Рассмотрим множество всех проективных преобразований проективной плоскости Это множество есть группа — группа проективных преобразований. Из этой группы можно выделить те или иные специальные преобразования. Например, все те проективные преобразования, при которых остается инвариантной некоторая фиксированная прямая линия. Множество этих преобразований также является группой — группой аффинных преобразований. Эта группа есть часть, или, как еще говорят, подгруппа группы всех проективных преобразований. Другим примером может служить подгруппа проективных преобразований, переводящих в себя некоторую кривую второго порядка. Это группа либо гиперболических, либо эллиптических преобразований.

Евклидова геометрия, с клейновской точки зрения, — это та геометрия, которая располагает группой конгруэнтных преобразований, что соответствует всем тем проективным преобразованиям, относительно которых инвариантна кроме прямой некоторая пара (комплексных) точек на ней. Клейн называл эту геометрию также параболической.

Координаты точки на проективной плоскости определяются тремя числами Любая тройка чисел за исключением случая ) представляет собой однородные координаты, то есть две тройки чисел, такие, что задают одну и ту же точку на проективной плоскости.

Аналитический метод описания имеет свои преимущества: введя систему координат, можно написать уравнения инвариантных кривых второго порядка (абсолютов):

в случае гиперболической геометрии

в случае эллиптической геометрии —

в случае параболической геометрии —

Следует особо подчеркнуть, что в каждом из этих трех случаев можно подобрать такую метрику, которая инвариантна относительно преобразований из соответствующей группы. Таким образом, геометрия разветвляется на отдельные виды в соответствии с той или иной группой преобразований. Задача каждой области геометрии состоит в изучении свойств, инвариантных относительно соответствующей группы преобразований. В этом заключена основная мысль программы Клейна.

Если для каждой из групп преобразований, которые соответствуют вышеупомянутым видам геометрии, обозначить условным знаком включения ее как подгруппы в группу проективных преобразований, то схематично это выглядит следующим образом:

(см. скан)

В этом смысле можно сказать, что «проективная геометрия — это вся геометрия».