§ 2. Содержание аффинной геометрии

В аффинной геометрии в основном выясняется, какие фигуры на евклидовой плоскости преобразуются друг в друга аффинными преобразованиями, т. е. являются аффинно эквивалентными фигурами. У евклидовых движений условия более жесткие, чем у аффинных преобразований. В силу условия инвариантности длины имеется относительно «большое количество» различных фигур. При аффинных преобразованиях условия не столь жесткие, преобразований относительно больше, критерии различия фигур мягче и «количество» различных видов фигур «уменьшается». Например, как уже отмечалось, в евклидовой геометрии хотя и говорят «треугольники», но среди них имеется бесконечно много различных треугольников — равносторонние, прямоугольные, тупоугольные и др. В аффинной же геометрии все они вместе подвержены взаимным преобразованиям и поэтому существует одно-единственное понятие «треугольник».

В этом реально отражается суть аффинной геометрии, и сейчас давайте исследуем наиболее простые свойства аффинных преобразований.

Разумеется, у нас нет возможности привести здесь последовательно одну за другой все теоремы с доказательствами, которые составляют предмет аффинной геометрии, но мы познакомим вас с ее основными особенностями.

Свойство 1. Аффинное преобразование переводя любую прямую а в некоторую прямую отображает множество точек прямой а на множество точек прямой

Смысл выражения «отображает на» состоит в том, что при преобразовании во-первых, любой точке прямой а соответствует точка прямой во-вторых, обратно, каждая точка прямой соответствует некоторой точке прямой Символически это можно записать так:

Я думаю, выяснению сути аффинной геометрии не помешает то обстоятельство, что

Рис. 9.

приведенное здесь в качестве исходного свойство 1 ранее вошло в определение аффинного преобразования. Аффинное преобразование плоскости, устанавливая взаимно однозначное соответствие между точками плоскости, порождает также взаимно однозначное соответствие между прямыми на плоскости.

Отсюда сразу следует, что в аффинной геометрии треугольник и четырехугольник — неэквивалентные фигуры.

Рис. 10

Действительно, возьмем три прямые образующие три стороны треугольника. При аффинном преобразовании прямые переходят в прямые . В четырехугольнике же есть еще одна сторона. При преобразовании ей должна была бы соответствовать, помимо прямых еще одна прямая.

Рис. 11

Следовательно, треугольник и четырехугольник между собой аффинно не эквивалентны.

Свойство 2. Если прямые параллельны а то и их образы при аффинном преобразовании также параллельны.

Иначе говоря, в аффинной геометрии параллельные прямые переходят в параллельные прямые.

Доказательство проведем от противного. Предположим, что прямые непараллельны, т. е. пересекаются в некоторой точке X (рис. 12). Поскольку каждая точка прямой является образом некоторой точки прямой а (свойство 1), то на прямой а найдется точка такая, что Но X в свою очередь лежит и на прямой поэтому точно так же на прямой имеется точка для которой

Но поскольку -представляет собой взаимно однозначное соответствие между всеми точками плоскости, то точка, перемещающаяся в точку X, единственна. Следовательно, точка непременно должна совпадать с

Это значит, что прямая а и прямая имеют общую точку а это противоречит

Рис. 12

предположению, что (основное предположение). Противоречие проистекает из предположения, что пересекаются, и свидетельствует об ошибочности предположения. Следовательно,

Думаю, что из свойства 2 и рис. 13 сразу понятно преобразование параллелограмма. Иначе говоря, в аффинной геометрии параллелограмм представляет собой особую фигуру, отличающуюся от общего четырехугольника, который не является параллелограммом.

Рис. 13

Рис. 14

Очевидно, что аналогичное можно сказать и о трапециях.

Следствие. Два параллельных и равных по длине (в евклидовой геометрии) отрезка и с помощью аффинного преобразования превращаются в параллельные и равные по длине отрезки и где Разумеется, что при этом, как правило,

Это вытекает из того, что по свойству 2 две противоположные стороны параллелограмма переходят в две противоположные стороны опять же параллелограмма. Абсолютные длины отрезков подвергаются изменению, однако инвариантность отношения двух параллельных отрезков составляет особенность аффинной геометрии. Заметим, что отношение двух отрезков и можно определить без использования понятия длины, лишь бы они были параллельны. Итак, сохранение параллельности и взаимного равенства преобразуемых отрезков особенность аффинной геометрии.