Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 2. Содержание аффинной геометрииВ аффинной геометрии в основном выясняется, какие фигуры на евклидовой плоскости преобразуются друг в друга аффинными преобразованиями, т. е. являются аффинно эквивалентными фигурами. У евклидовых движений условия более жесткие, чем у аффинных преобразований. В силу условия инвариантности длины имеется относительно «большое количество» различных фигур. При аффинных преобразованиях условия не столь жесткие, преобразований относительно больше, критерии различия фигур мягче и «количество» различных видов фигур «уменьшается». Например, как уже отмечалось, в евклидовой геометрии хотя и говорят «треугольники», но среди них имеется бесконечно много различных треугольников — равносторонние, прямоугольные, тупоугольные и др. В аффинной же геометрии все они вместе подвержены взаимным преобразованиям и поэтому существует одно-единственное понятие «треугольник». В этом реально отражается суть аффинной геометрии, и сейчас давайте исследуем наиболее простые свойства аффинных преобразований. Разумеется, у нас нет возможности привести здесь последовательно одну за другой все теоремы с доказательствами, которые составляют предмет аффинной геометрии, но мы познакомим вас с ее основными особенностями. Свойство 1. Аффинное преобразование Смысл выражения «отображает на» состоит в том, что при преобразовании
Я думаю, выяснению сути аффинной геометрии не помешает то обстоятельство, что
Рис. 9. приведенное здесь в качестве исходного свойство 1 ранее вошло в определение аффинного преобразования. Аффинное преобразование плоскости, устанавливая взаимно однозначное соответствие между точками плоскости, порождает также взаимно однозначное соответствие между прямыми на плоскости. Отсюда сразу следует, что в аффинной геометрии треугольник и четырехугольник — неэквивалентные фигуры.
Рис. 10 Действительно, возьмем три прямые
Рис. 11 Следовательно, треугольник и четырехугольник между собой аффинно не эквивалентны. Свойство 2. Если прямые Иначе говоря, в аффинной геометрии параллельные прямые переходят в параллельные прямые. Доказательство проведем от противного. Предположим, что прямые Но поскольку Это значит, что прямая а и прямая
Рис. 12 предположению, что Думаю, что из свойства 2 и рис. 13 сразу понятно преобразование параллелограмма. Иначе говоря, в аффинной геометрии параллелограмм представляет собой особую фигуру, отличающуюся от общего четырехугольника, который не является параллелограммом.
Рис. 13
Рис. 14 Очевидно, что аналогичное можно сказать и о трапециях. Следствие. Два параллельных и равных по длине (в евклидовой геометрии) отрезка Это вытекает из того, что по свойству 2 две противоположные стороны параллелограмма переходят в две противоположные стороны опять же параллелограмма. Абсолютные длины отрезков подвергаются изменению, однако инвариантность отношения двух параллельных отрезков составляет особенность аффинной геометрии. Заметим, что отношение двух отрезков
|
1 |
Оглавление
|