Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Часть перваяГлава 1. Классическая геометрияНазвание «классическая геометрия» — это отнюдь не математический термин. Под «классической геометрией» понимают один из главных разделов «старой» математики. Исследования и достижения классической геометрии великолепны и лежат в основе современной математики. Однако в настоящее время сама по себе классическая геометрия уже не является той областью, которую можно было бы рассматривать как объект особо важных исследований. Здесь мы в классическую геометрию включаем евклидову и неевклидову геометрии, а также аффинную и проективную. Уместно сказать, что в Японии вплоть до эпохи Тайсё (1912—1925) проективная геометрия включалась в разделы так называемой современной геометрии. В то время все геометрии, кроме евклидовой, входили в рамки современной геометрии. С другой стороны, как известно, многие математики критически относились к включению проективной геометрии в современную. В тех разделах, где применялся синтетический подход, уже чувствовалось «прошлое», и их нельзя было считать современными. Когда говорят о современной геометрии, прежде всего имеют в виду топологию и дифференциальную геометрию. Говоря о геометрии, можно вспомнить алгебраическую геометрию, но в наши дни этот раздел относится к сфере алгебры. Кроме того, термин «геометрия» фигурирует в названиях некоторых других областей математики, которые, вероятно, не стоит относить ни к классической, ни к основным разделам современной геометрии. § 1. Различные представления о геометрииПрежде чем приступить к подробному рассмотрению геометрии, отметим, что в зависимости от вида геометрии одно и то же утверждение, высказанйое в отношении некоторой фигуры, может быть как верным, так и ошибочным. Возьмем фигуры, приведенные на рис. 1. Эти фигуры расположены в плоскости. Фигуры 1 и 6 имеют одинаковую форму, 4 — прямая линия. Рассматривая рис. 1, можно высказать различные суждения, например: 1. Поскольку фигуры 1 и 6 занимают разное положение, то они не одинаковы. 2. Четырехугольник нарисован третьим слева. 3. Фигуры 1 и 6 одинаковы. 4. Сумма трех внутренних углов фигуры 1 составляет два прямых угла.
Рис. 1 5. Фигуры 1 и 2 различны. 6. Фигуры 2 и 5, а также 2 и 5 различны. 7. Каждая из фигур (1- 6) разбивает плоскость на две части. Все вышеприведенные суждения имеют смысл и выражают правильные отношения. Однако в зависимости от вида геометрии некоторые из них в конечном счете становятся неверными. Почему это происходит, должно стать понятным в дальнейшем при объяснении разных геометрических подходов. Здесь же мы только вскользь наметим границу между различными точками зрения. Возьмем сначала суждение 1. Фигуры 1 и 6, единственные из всех шести, которые, очевидно, в некотором роде равны. И если находиться на той точке зрения, что фигуры, имеющие между собой хоть какие-нибудь различия, обязательно неодинаковы, то невозможно ни сравнивать фигуры между собой, ни делать те или иные выводы. При этом совершенно невозможно даже измерение, которое сводится, как известно, в конечном счете к совмещению прямолинейных отрезков. В такой ситуации нельзя получить универсальные общие положения, а значит, невозможно и возникновение науки. Таким образом, суждение 1 относится к категории суждений, которые существовали еще до возникновения геометрии как науки. Суждение 2 также относится к суждениям догеометрического периода. В евклидовой геометрии, как известно из школьных учебников математики, свойства фигур при перемещении не изменяются. И ни в какой из геометрий не имеет значения, где находится та или иная фигура — на третьем месте или на пятом. В суждении 3 слово «одинаковы» использовано в смысле «равны» или «конгруэнтны». Вообще две фигуры, которые можно наложить одну на другую посредством перемещения, называются равными, или, как еще говорят, конгруэнтными. Так вот, фигуры 1 и 6 равны. В евклидовой геометрии фигуры сравнивают между собой и выявляют их общие свойства посредством именно перемещений. Перемещение иначе называют движением, однако считать, что это означает перемещение и наложение фигур руками, было бы слишком упрощенно. Ниже, говоря о евклидовой геометрии, мы приведем математически строгое определение. Суждение 4 верно для треугольных фигур лишь на евклидовой плоскости. Если же начертить треугольник на неевклидовой плоскости (плоскости Лобачевского), то сумма его трех внутренних углов всегда будет меньше двух прямых углов и суждение 4 неверно. Суждение 5 неверно в аффинной геометрии. Аффинная геометрия будет объяснена в нижеследующих разделах. Здесь же скажем только, что она не рассматривает такие конкретные величины, как длина отрезков, величина углов и т. п. На этом мы остановимся подробнее ниже, сейчас же только еще отметим, что в аффинной геометрии все треугольники одинаковые фигуры. Суждение 6 верно и в аффинной геометрии, так как треугольники и четырехугольники в аффинной геометрии представляют собой различные фигуры. Однако если суждение 6 рассматривать в рамках топологии, то оно оказывается неверным. С топологической точки зрения эти три фигуры одинаковы. Суждение 7 верно и в евклидовой, и в аффинной геометрии, и в топологии. Однако если, прямая 4 расположена на проективной плоскости, то суждение 7 неверно. О проективной плоскости мы также расскажем ниже, но кратко можно сказать, что в отличие от евклидовой и аффинной плоскости она конечна и прямая на ней не может быть продолжена бесконечно: идя по проективной прямой, мы вернемся в исходную точку. Другими словами, она подобна замкнутой кривой, хотя при этом она все же в определенном смысле представляет собой прямую линию.
|
1 |
Оглавление
|