Часть первая

Глава 1. Классическая геометрия

Название «классическая геометрия» — это отнюдь не математический термин. Под «классической геометрией» понимают один из главных разделов «старой» математики. Исследования и достижения классической геометрии великолепны и лежат в основе современной математики. Однако в настоящее время сама по себе классическая геометрия уже не является той областью, которую можно было бы рассматривать как объект особо важных исследований.

Здесь мы в классическую геометрию включаем евклидову и неевклидову геометрии, а также аффинную и проективную. Уместно сказать, что в Японии вплоть до эпохи Тайсё (1912—1925) проективная геометрия включалась в разделы так называемой современной геометрии. В то время все геометрии, кроме евклидовой, входили в рамки современной геометрии. С другой стороны, как известно, многие математики критически относились к включению проективной геометрии в современную. В тех разделах, где применялся синтетический подход, уже чувствовалось «прошлое», и их нельзя было считать современными.

Когда говорят о современной геометрии, прежде всего имеют в виду топологию и дифференциальную геометрию. Говоря о геометрии, можно вспомнить алгебраическую геометрию, но в наши дни этот раздел относится к

сфере алгебры. Кроме того, термин «геометрия» фигурирует в названиях некоторых других областей математики, которые, вероятно, не стоит относить ни к классической, ни к основным разделам современной геометрии.

§ 1. Различные представления о геометрии

Прежде чем приступить к подробному рассмотрению геометрии, отметим, что в зависимости от вида геометрии одно и то же утверждение, высказанйое в отношении некоторой фигуры, может быть как верным, так и ошибочным.

Возьмем фигуры, приведенные на рис. 1. Эти фигуры расположены в плоскости. Фигуры 1 и 6 имеют одинаковую форму, 4 — прямая линия. Рассматривая рис. 1, можно высказать различные суждения, например:

1. Поскольку фигуры 1 и 6 занимают разное положение, то они не одинаковы.

2. Четырехугольник нарисован третьим слева.

3. Фигуры 1 и 6 одинаковы.

4. Сумма трех внутренних углов фигуры 1 составляет два прямых угла.

Рис. 1

5. Фигуры 1 и 2 различны.

6. Фигуры 2 и 5, а также 2 и 5 различны.

7. Каждая из фигур (1- 6) разбивает плоскость на две части.

Все вышеприведенные суждения имеют смысл и выражают правильные отношения. Однако в зависимости от вида геометрии некоторые из них в конечном счете становятся неверными. Почему это происходит, должно стать понятным в дальнейшем при объяснении разных геометрических подходов. Здесь же мы только вскользь наметим границу между различными точками зрения.

Возьмем сначала суждение 1. Фигуры 1 и 6, единственные из всех шести, которые, очевидно, в некотором роде равны. И если находиться на той точке зрения, что фигуры, имеющие между собой хоть какие-нибудь различия, обязательно неодинаковы, то невозможно ни сравнивать фигуры между собой, ни делать те или иные выводы. При этом совершенно невозможно даже измерение, которое сводится, как известно, в конечном счете к совмещению прямолинейных отрезков. В такой ситуации нельзя получить универсальные общие положения, а значит, невозможно и возникновение науки. Таким образом, суждение 1 относится к категории суждений, которые существовали еще до возникновения геометрии как науки.

Суждение 2 также относится к суждениям догеометрического периода. В евклидовой геометрии, как известно из школьных учебников математики, свойства фигур при перемещении не изменяются. И ни в какой из геометрий не имеет значения, где находится та или иная фигура — на третьем месте или на пятом.

В суждении 3 слово «одинаковы» использовано в смысле «равны» или «конгруэнтны». Вообще две фигуры, которые можно наложить одну на другую посредством перемещения, называются равными, или, как еще говорят, конгруэнтными. Так вот, фигуры 1 и 6 равны.

В евклидовой геометрии фигуры сравнивают между собой и выявляют их общие свойства посредством именно перемещений. Перемещение иначе называют движением, однако считать, что это означает перемещение и наложение фигур руками, было бы слишком упрощенно. Ниже, говоря о евклидовой геометрии, мы приведем математически строгое определение.

Суждение 4 верно для треугольных фигур лишь на евклидовой плоскости. Если же начертить треугольник на неевклидовой плоскости (плоскости Лобачевского), то сумма его трех внутренних углов всегда будет меньше двух прямых углов и суждение 4 неверно.

Суждение 5 неверно в аффинной геометрии. Аффинная геометрия будет объяснена в нижеследующих разделах. Здесь же скажем только, что она не рассматривает такие конкретные величины, как длина отрезков, величина углов и т. п. На этом мы остановимся подробнее ниже, сейчас же только еще отметим, что в аффинной геометрии все треугольники одинаковые фигуры.

Суждение 6 верно и в аффинной геометрии, так как треугольники и четырехугольники в аффинной геометрии представляют собой различные фигуры. Однако если суждение 6 рассматривать в рамках топологии, то оно оказывается неверным. С топологической точки зрения эти три фигуры одинаковы.

Суждение 7 верно и в евклидовой, и в аффинной геометрии, и в топологии. Однако если, прямая 4 расположена на проективной плоскости, то суждение 7 неверно. О проективной плоскости мы также расскажем ниже, но кратко можно сказать, что в отличие от евклидовой и аффинной плоскости она конечна и прямая на ней не может быть продолжена бесконечно: идя по проективной прямой, мы вернемся в исходную точку. Другими словами, она подобна замкнутой кривой, хотя при этом она все же в определенном смысле представляет собой прямую линию.