§ 2. Гипотеза Пуанкаре

Существует известная гипотеза Пуанкаре: если трехмерное замкнутое многообразие односвязно (т. е. его фундаментальная группа состоит только из единичного элемента), то оно гомеоморфно трехмерной сфере.

Отметим, что если фундаментальная группа равна 0, то и одномерная группа гомологий также равна 0.

Трехмерная сфера определяется как множество точек в четырехмерном евклидовом пространстве координаты которых удовлетворяют условию: Легко видеть, что Предположение Пуанкаре состоит, собственно, в том, что условие является определяющим свойством именно трехмерной сферы Несмотря на многочисленные исследования в области геометрии, эта задача остается нерешенной. Если в конце концов эта задача получит свое положительное решение, в проблеме изучения трехмерных многообразий будет найден ряд кратких и четких ответов и, по-видимому, параллельно будут решены многие другие вопросы. С другой стороны, ясно также, что если решение этой задачи будет отрицательным, то изучение вопроса о геометрических свойствах трехмерных многообразий пойдет по исключительно сложному пути. В отличие от задачи о четырех красках решение данной задачи имеет большое значение для развития математики.

Рассмотрим полиэдр разбиение которого на симплексы дает комплекс К. Если теперь в этом комплексе К взять произвольно вершину то все симплексы комплекса, содержащие эту вершину вместе с их гранями образуют множество, которое называется звездой комплекса в точке и обозначается через

Звезда представляет собой подкомплекс комплекса К. Если подвергнуть звезду дальнейшему подразделению, то как множество точек она останется прежней. Но как комплекс звезда имеет после подразделения другой вид. Этот новый комплекс обозначим через от английского слова подразделение. Если для любой вершины можно выбрать такие подразделения звезды и -мерного симплекса что полученные комплексы равны, то комплекс К называют комбинаторным -мерным многообразием. (По определению два комплекса равны, если множество всех симплексов одного из них можно привести во взаимно однозначное соответствие с множеством симплексов другого, при котором сохраняется размерность симплексов и не нарушается инцидентность. Полиэдры равных комплексов (или комплексов, которые можно сделать равными после подразделений), безусловно, гомеоморфны между собой; справедливость обратного

Рис. 105

утверждения совершенно неясна.) Пусть комбинаторное -мерное многообразие входит в гомотопический класс -мерной сферы гомотопически эквивалентно -мерной сфере. Известная гипотеза Пуанкаре гласит: гомотопически эквивалентное -мерной сфере многообразие должно быть и гомеоморфным Если будет доказано, что гомотопический тип -мерной сферы действительно совпадает с топологическим типом, то тогда отпадет необходимость в рассмотрении гомотопически эквивалентных сфере многообразий. Эта гипотеза Пуанкаре была доказана для случая (Столлингс. Полиэдральные гомотопические сферы. Бюллетень американского математического общества, 1960 г.).

Как это ни удивительно, но для случаев малых размерностей проблема по-прежнему пока не решена.

Смейл (р. 1930) - известный математик, несколько раз, кстати, бывавший в Японии, также дал решение гипотезы Пуанкаре для случая Однако его доказательство справедливо для дифференцируемых многообразий.