§ 3. Векторы

Понятие вектора входит в школьную программу. Геометрическим вектором называют отрезок на евклидовой плоскости с заданным направлением. Вектор, как известно, обозначается через Два геометрических вектора и имеющие одинаковое направление и длину, считаются равными: . В аффинной геометрии равенство означает, что четырехугольник

является параллелограммом. Сгруппировав все геометрические векторы, равные в одно множество, можно определить это множество как один вектор: Векторы — это геометрические представители вектора а.

Аффинное преобразование переводит каждый вектор а в некоторый другой вектор Действительно, взяв любой представитель вектора а, например получим . В силу следствия остальные представители вектора а перейдут в равные геометрические векторы. Таким образом, классу геометрических представителей вектора а соответствует другой класс равных геометрических векторов:

Возьмем другой вектор который отображается (см. рис. 14) при в вектор Определив при помощи обычных сумм геометрических векторов соответствующие суммы векторов легко видеть, что

т. е. образ суммы векторов при аффинном преобразовании равен сумме образов векторов.

Если умножить векторы на действительные числа и то при аффинном преобразовании получим соответствие:

Таким образом, аффинное преобразование порождает на совокупности векторов и

т. д. новое преобразование, которое удовлетворяет указанным условиям и называется линейным. При этом различным аффинным преобразованиям соответствуют, как правило, различные линейные преобразования множества векторов.

Подведем итог: опираясь лишь на то, что «параллелограмм при аффинном преобразовании переходит в параллелограмм», можно построить линейное преобразование множества векторов на аффинной плоскости (последнее означает, что евклидова метрика не учитывается).