Глава 8. Лекция о многообразиях

§ 1. О понятии «многообразие»

Термин «многообразие» (по-английски ), насколько нам известно, был введен в 1935 году, когда многие еще употребляли термин «множество».

Наиболее ранние работы, в которых встречается идея многообразия, — это исследования Лагранжа (1736—1813) по динамике. Однако непосредственно идея многообразия была рассмотрена Грассманом (1809—1877) в 1840 году в его исследованиях по -мерным евклидовым пространствам непосредственное восприятие которых при исключено. Под точкой -мерного пространства понимают

набор из отдельных чисел а под -мерным пространством — множество всех таких точек, когда числа пробегают независимо все возможные значения. В евклидовом пространстве к трму же между любыми двумя точками вводится расстояние по формуле:

Рассмотрим в пространстве множество точек, которые удовлетворяют условию и пусть из остальных чисел каждое число меняется независимо от других. Это множество составляет -мерное евклидово пространство которое называется гиперплоскостью в пространстве

Другим интересным примером в -мерном евклидовом пространстве является множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

Это множество точек представляет собой -мерную сферу единичного радиуса с центром в начальной точке ). Множество же точек с координатами, удовлетворяющими неравенству

является -мерным единичным шаром, или, как еще говорят, -мерным диском.

Евклидово пространство это лишь частный случай -мерного многообразия. Представление об -мерном многообразии как обобщение понятия кривой поверхности впервые появилось в работах Римана. Риман

в своей лекции в Геттингеиском университете в 1854 году «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» выдвинул общую идею -мерного многообразия (риманово пространство). Впоследствии Пуанкаре дал определение, основанное на общем требовании однородности окрестностей. Конкретно он определял -мерное многообразие как связное топологическое пространство, каждая точка которого обладает окрестностью, гомеоморфной диску в -мерном евклидовом пространстве. Сферическая поверхность задаваемая уравнением

представляет собой замкнутое -мерное многообразие. В настоящее время определенное таким образом многообразие называют топологическим многообразием. Наряду с ним существуют определения многообразий других типов, таких, как комбинаторное многообразие, -многообразие, дифференцируемое многообразие и др. Эти определения отражают особенности структур многообразий, а также специфику методов исследования. Между тем остается еще много старых нерешенных вопросов.