§ 1. Группы гомологий

Пуанкаре с целью изучения геометрических свойств фигур рассматривал их как объединение очень простых элементарных

фигур — симплексов. Сложные фигуры, построенные из симплексов, называются комплексами. В евклидовом пространстве симплексом, имеющим нулевую размерность, является точка, одномерным симплексом — прямолинейный отрезок, двумерным — треугольник (включая его внутренние точки), трехмерным — тетраэдр (включая внутренние точки). Симплексы в пространстве однозначно определяются своими вершинами. Так, например, двумерный симплекс представляется тройкой точек в то время как трехмерный симплекс — четверкой своих вершин

Рис. 84

В случае двух измерений три вершины не должны располагаться на одной прямой, поскольку тогда не получается двумерного симплекса, а в трехмерном случае четверка вершин не должна принадлежать одной плоскости.

Как мы уже говорили, сложная фигура, или комплекс, подобная той, что изображена на рис. 85, представляет собой объединение составляющих ее симплексов, однако она не является чем-то беспорядочно «сваленным в кучу» без каких-либо условий.

Прежде чем привести это объединение симплексов в систему, обозначим их через размерность симплекса, номер -мерного симплекса, поскольку их, вообще говоря, много). Рассмотрим в этих обозначениях приведенный двумерный симплекс: тогда это одномерные симплексы. Принадлежность каждого из этих симплексов симплексу обозначают через далее

Рис. 85

Условия построения комплекса К следующие:

1) есйи симплекс принадлежит комплексу то комплексу К принадлежит каждый соседний с ним симплекс;

2) если симплексы, одновременно принадлежащие комплексу то множество их общих точек пересечения также является симплексом, принадлежащим

Множество симплексов, удовлетворяющих этим двум условиям, называют комплексом, или геометрическим комплексом. Фигура, изображенная на рис. 86, не является комплексом.

Тетраэдр является симплексом. В то же врёмя множество симплексов на его поверхности, которое наряду с каждым симплексом

содержит и соседние с ним симплексы, представляет собой комплекс. Разные симплексы входят в это множество как составные элементы.

Множество точек всех симплексов, входящих в комплекс, называют полиэдром. Комплекс, состоящий из симплексов, размерность которых не превышает двух, — это по существу дела многогранник. Симплекс с его прямолинейными ребрами и гранями является линейной фигурой. Взять в качестве объекта изучения лишь многоугольники и многогранники — это значит ограничиться рассмотрением весьма узкого класса фигур.

Рис. 86

Поскольку в топологии гомеоморфные фигуры считаются одинаковыми, то и фигуры — симплексы, — изображенные на рис. 87, можно рассматривать как равные фигуры. Вторая из этих гомеоморфшых фигур не является линейной и называется клеткой.

Множество клеток, отвечающее упомянутым выше условиям комплексов (1) и (2), называют клеточным комплексом. Таким образом, наряду с симплициальным комплексом, который состоит из симплексов, при изучении криволинейных фигур рассматривают клеточные комплексы, образованные из клеток. Например, сферическая поверхность гомеоморфна поверхности тетраэдра, которая, как мы видели, является симплициальным комплексом. Благодаря топологическому соответствию этому комплексу соответствует на сфере клеточный, или криволинейный, комплекс.

Рис. 87

Хотя клеточные комплексы — комплексы, тем не менее эти геометрические фигуры принадлежат довольно узкому кругу, и в определенном смысле можно сказать, что это простые фигуры. В общем случае топологическое пространство может быть устроено исключительно сложно для восприятия. Можно сказать, что чересчур сложные фигуры возникают в основном в бесконечных конструкциях, исследование которых относится порой уже к области патологии. Мы коснемся этого позже. Теорию же комплексов можно считать

достаточно доступной, поскольку составляющие их элементы — это симплексы. Тем не менее их геометрические свойства имеют глобальный характер, структура комплексов достаточно сложна, и их исследованию в настоящее время посвящена специальная область топологии.

Для изучения комплексов Пуанкаре ввел группы гомологийу определение которых основано на так называемом отношении инцидентности, т. е. на знании того, входит или нет какой-нибудь один симплекс в состав границы другого симплекса. Как отмечалось, граница двумерного симплекса состоит из трех одномерных симплексов Переходя к трехмерным симплексам, прежде всего необходимо задать ориентацию симплекса, которая определяется очередностью (порядком указания) их вершин, например,

Если изменить порядок вершин следующим образом: то в результате получим симплекс с противоположной ориентацией (противоположного знака):

Рис. 88

Если же изменить порядок еще раз, то знак меняется на прежний:

В качестве границы ориентированного тетраэдра по определению, берется следующая комбинация четырех ориентированных двумерных симплексов:

Знак суммы (или разности) здесь, разумеется, не является знаком обычной суммы (или разности) чисел. В данном случае он означает ориентацию, с которой входит в границу тетраэдра та или иная его двумерная грань. Дальше мы увидим, что этот знак будет символизировать операцию сложения в группе.

Определение границы несколько облегчается, если ввести следующее выражение: 3

где Означает, что вершина исключена, т. е. означает двумерный граничный симплекс, лежащий против вершины с ориентацией, зависящей от того, на каком (четном или нечетном) месте находится

Теперь, опираясь на понятие границы можно определить группу гомологий комплекса Мы видим, что определение границы симплекса по своему содержанию формально: в нем не рассматриваются множества точек, из которых состоят симплексы, речь идет только о последовательностях с поочередно выкинутыми вершинами.

Говоря о комплексе как о множестве сим: плексов, из которых он состоит, мы

учитываем одновременно и их инцидентности, полагая при этом если -мерный симплекс входит в состав границы симплекса Отношение инцидентности порождает во множестве симплексов упорядоченность. Следует отметить, что на этом пути были построены абстрактные структуры, в частности, структуры, состоящие из абстрактных симплексов с абстрактным отношением инцидентности. Останавливаться на этом сейчас мы не будем. Прежде чем исходя из комбинаций входящих в комплекс симплексов строить группы гомологий, следовало бы сначала познакомиться с общематематическим понятием группы, в частности с понятием коммутативной (абелевой) группы. Однако детальное знакомство с группой в рамках этой книжки довольно затруднительно, и представление об этом важном математическом понятии, которое является, по мнению многих, трудным для понимания, здесь будет дано на конкретном примере.

Рассмотрим (рис. 89) замкнутую ломаную из семи прямолинейных звеньев:

Придадим каждому одномерному симплексу направление при помощи вершин и определим его границу.

Мы имеем:

Разумеется, что в данном случае знак сложения и знак вычитания не означают обычных операций сложения и вычитания. Ранее в § 2 главы 6, говоря о замкнутых кривых линиях на торе и упоминая при этом о сложении, мы также вкладывали в это смысл

операции в некоторой абелевой группе. Формальная сумма симплексов одной и той же размерности называется цепью. Символ в формуле: это тоже не обычный ноль в числовом ряду. Он представляет собой нулевой элемент абелевой группы.

Рис. 89

Цепь, граница которой равна ,0, называется цикком. Так, выше упоминавшаяся одномерная цепь является циклом. Если цикл в то же время является границей некоторой двумерной цепи, то говорят, что он гомологичен нулю и обозначают Хотя в нашем случае цикл гомологичен нулю, сам по себе он не является нулевым элементом. Поэтому здесь используется знак приближенного равенства.

Напишем для комплекса на рис. 89 двумерную цепь следующего вида:

Вычислим его границу:

Отсюда заключаем, что цикл является границей цепи т. е. и в самом деле Если говорить более наглядно, то замкнутая кривая линия гомологична нулю когда она ограничивает часть поверхности комплекса (ограниченная часть не обязательно диск). Далее, если две замкнутые кривые линии удовлетворяют условию: то о них говорят, что они гомологичны друг другу: и считаются эквивалентными элементами.

Если представляет собой цикл, т. е. то т. е. представляет собой цикл. Внешний вид удвоенной кривой совпадает с исходной кривой и представление кривой как суммы двух таких же кривых вызывает сомнение: имеет ли это хоть какой-нибудь геометрический смысл. Однако приведенный ниже пример кривой на проективной плоскости должен развеять это сомнение.

Проиллюстрируем вышесказанное на примерах сферы, поверхности тора и проективной плоскости. Согласно теореме Жордана любая простая замкнутая кривая линия на сферической поверхности является границей двух областей поверхности. Поэтому Отсюда можно получить, что одномерная группа гомологий на сфере тривиальна — Равенство группы нулю означает, что она состоит из единственного — (нулевого) элемента.

Однако на поверхности тора взятые кривые не являются границей части поверхности. Поэтому Помимо них на торе существует много других замкнутых кривых (рис. 90), не гомологичных нулю. Например, кривая с, для которой, заметим, справедливо с или с

Вообще для любой замкнутой кривой линии с на поверхности тора можно доказать

Поэтому, взяв два цикла через них можно выразить всю одномерную группу гомологий Здесь через обозначена группа всех целых чисел (относительно сложения), а знакфиспользован для выражения прямой суммы групп. Количество экземпляров входящих в в случае тора оно равно 2, называется одномерным числом Бетти. Для сферической поверхности одномерное число Бетти равно 0.

На проективной плоскости цикл а не является границей.

Рис. 134

Однако полная окружность, соответствующая циклу 2а, ограничивает всю «внутреннюю» часть проективной плоскости. По этой причине, как мы уже упоминали об этом, но Рассмотрим другую замкнутую кривую, например кривую (рис. 91). Кривая ограничивает половину плоскости. Поэтому а или

Рис. 91

Можно также сказать, что вообще любой негомологичный нулю цикл на проективной плоскости гомологичен а. Поэтому одномерная группа гомологий проективной плоскости состоит из двух элементов где нулевому элементу группы соответствуют одномерные циклы, гомологичные нулю, а единице — все остальные циклы, которые, напомним, гомологичны а. Эта группа не содержит подгруппы, изоморфной группе целых чисел, и поэтому одномерное число Бетти для проективной плоскости равно 0.