Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 1. Группы гомологийПуанкаре с целью изучения геометрических свойств фигур рассматривал их как объединение очень простых элементарных фигур — симплексов. Сложные фигуры, построенные из симплексов, называются комплексами. В евклидовом пространстве
Рис. 84 В случае двух измерений три вершины не должны располагаться на одной прямой, поскольку тогда не получается двумерного симплекса, а в трехмерном случае четверка вершин не должна принадлежать одной плоскости. Как мы уже говорили, сложная фигура, или комплекс, подобная той, что изображена на рис. 85, представляет собой объединение составляющих ее симплексов, однако она не является чем-то беспорядочно «сваленным в кучу» без каких-либо условий. Прежде чем привести это объединение симплексов в систему, обозначим их через
Рис. 85 Условия построения комплекса К следующие: 1) есйи симплекс 2) если Множество симплексов, удовлетворяющих этим двум условиям, называют комплексом, или геометрическим комплексом. Фигура, изображенная на рис. 86, не является комплексом. Тетраэдр является симплексом. В то же врёмя множество симплексов на его поверхности, которое наряду с каждым симплексом содержит и соседние с ним симплексы, представляет собой комплекс. Разные симплексы входят в это множество как составные элементы. Множество точек всех симплексов, входящих в комплекс, называют полиэдром. Комплекс, состоящий из симплексов, размерность которых не превышает двух, — это по существу дела многогранник. Симплекс с его прямолинейными ребрами и гранями является линейной фигурой. Взять в качестве объекта изучения лишь многоугольники и многогранники — это значит ограничиться рассмотрением весьма узкого класса фигур.
Рис. 86 Поскольку в топологии гомеоморфные фигуры считаются одинаковыми, то и фигуры — симплексы, — изображенные на рис. 87, можно рассматривать как равные фигуры. Вторая из этих гомеоморфшых фигур не является линейной и называется клеткой. Множество клеток, отвечающее упомянутым выше условиям комплексов (1) и (2), называют клеточным комплексом. Таким образом, наряду с симплициальным комплексом, который состоит из симплексов, при изучении криволинейных фигур рассматривают клеточные комплексы, образованные из клеток. Например, сферическая поверхность гомеоморфна поверхности тетраэдра, которая, как мы видели, является симплициальным комплексом. Благодаря топологическому соответствию этому комплексу соответствует на сфере клеточный, или криволинейный, комплекс.
Рис. 87 Хотя клеточные комплексы — комплексы, тем не менее эти геометрические фигуры принадлежат довольно узкому кругу, и в определенном смысле можно сказать, что это простые фигуры. В общем случае топологическое пространство может быть устроено исключительно сложно для восприятия. Можно сказать, что чересчур сложные фигуры возникают в основном в бесконечных конструкциях, исследование которых относится порой уже к области патологии. Мы коснемся этого позже. Теорию же комплексов можно считать достаточно доступной, поскольку составляющие их элементы — это симплексы. Тем не менее их геометрические свойства имеют глобальный характер, структура комплексов достаточно сложна, и их исследованию в настоящее время посвящена специальная область топологии. Для изучения комплексов Пуанкаре ввел группы гомологийу определение которых основано на так называемом отношении инцидентности, т. е. на знании того, входит или нет какой-нибудь один симплекс в состав границы другого симплекса. Как отмечалось, граница двумерного симплекса Если изменить порядок вершин следующим образом:
Рис. 88 Если же изменить порядок еще раз, то знак меняется на прежний: В качестве границы ориентированного тетраэдра Знак суммы (или разности) здесь, разумеется, не является знаком обычной суммы (или разности) чисел. В данном случае он означает ориентацию, с которой входит в границу тетраэдра та или иная его двумерная грань. Дальше мы увидим, что этот знак будет символизировать операцию сложения в группе. Определение границы
где Теперь, опираясь на понятие границы Говоря о комплексе как о множестве сим: плексов, из которых он состоит, мы учитываем одновременно и их инцидентности, полагая при этом Рассмотрим (рис. 89) замкнутую ломаную из семи прямолинейных звеньев: Придадим каждому одномерному симплексу направление при помощи вершин и определим его границу. Мы имеем: Разумеется, что в данном случае знак сложения и знак вычитания не означают обычных операций сложения и вычитания. Ранее в § 2 главы 6, говоря о замкнутых кривых линиях на торе и упоминая при этом о сложении, мы также вкладывали в это смысл операции в некоторой абелевой группе. Формальная сумма симплексов одной и той же размерности называется цепью. Символ
Рис. 89 Цепь, граница которой равна ,0, называется цикком. Так, выше упоминавшаяся одномерная цепь Напишем для комплекса на рис. 89 двумерную цепь следующего вида:
Вычислим его границу:
Отсюда заключаем, что цикл Если Проиллюстрируем вышесказанное на примерах сферы, поверхности тора и проективной плоскости. Согласно теореме Жордана любая простая замкнутая кривая линия Однако на поверхности тора взятые кривые Вообще для любой замкнутой кривой линии с на поверхности тора можно доказать
Поэтому, взяв два цикла На проективной плоскости
Рис. 134 Однако полная окружность, соответствующая циклу 2а, ограничивает всю «внутреннюю» часть проективной плоскости. По этой причине, как мы уже упоминали об этом,
Рис. 91 Можно также сказать, что вообще любой негомологичный нулю цикл на проективной плоскости гомологичен а. Поэтому одномерная группа гомологий проективной плоскости состоит из двух элементов
|
1 |
Оглавление
|