Глава 4. О неевклидовой геометрии

§ 1. Исторический очерк

Неевклидова геометрия оформилась в XIX веке, однако период ее становления был длительным! В течение более 2000 лет после Евклида мнргие математики вели напряженный научный поиск. Мы сможем упомянуть здесь лишь основные этапы этого долгого исторического) процесса.

Теория Евклида опирается на ряд определений и аксиом. Исходной точкой его логической системы является положение о том, что выдвигаемые им постулаты очевидны, их справедливость признается всеми несомненной. Имеются пять постулатов:

1. Через две точки проходит единственная прямая.

2. Ограниченную прямую линию можно непрерывно продолжить.

3. Из любой точки как из центра можно описать окружность любого радиуса.

4. Все прямые углы равны между собой.

5. Всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых углов, эти прямые пересекаются и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

Последний, пятый, постулат известен как постулат о параллельных.

Евклид приводит также девять аксиом, представляющих собой общие положения,

например: «Если к равным величинам прибавляются равные, то и суммы будут равными».

Постулат о параллельных по сравнению с другими постулатами гораздо сложнее, смысл его глубже. Хотя и к нему должно быть применимо условие самоочевидности, однако формулировка постулата такова, что не поддается восприятию сразу по прочтении. Правда, это обстоятельство было осознан позже. Вопрос заключается в том, можно ли этот постулат считать не самим по себе верным, а выводимым из других постулатов и аксиом. Если утверждение может быть доказано, то тогда нет никакой необходимости выдвигать его в качестве постулата. А если так, то это свидетельствует, по словам Д'Аламбера, о «подводных камнях и капризном характере геометрии...»

Многие комментаторы Евклида, находившиеся во власти этого евклидова) положения, пытались найти доказательство постулата о параллельных, однако все попытки такого рода исследований не имели результата. Не исключено, что сам Евклид прищел к мысли о выдвижении этого положения в качестве постулата лишь после неудачных попыток найти его доказательство. По-видимому, его исследования в этом направление были скорее безуспешными, чем незавершенными.

Этот опыт в настоящее время породил целое направление сложнейших интенсивных исследований в основаниях не только геометрии, но и всей теоретической математики.

Относительно геометрии можно сказать, что в результате продолжительных исследований были получены равноценные постулату о параллельных формулировки.

Например, через точку, находящуюся вне данной прямой линии, можно провести только одну прямую линию, параллельную данной.

Или — сумма внутренних углов треугольника равна сумме двух прямых.

Эти и подобные им утверждения можно доказать, если исходить из предположения о справедливости постулата о параллельных и, наоборот, допустив, что любое одно из вышеприведенных суждений правильно, можно доказать справедливость постулата о параллельных. В этом смысле приведенные утверждения равносильны, или, как еще говорят, эквивалентны.

Среди попыток доказательства постулата о параллельных заслуживают особого внимания исследования Дж. Саккери (1677—1733) и Лежандра (1752—1833).

Саккери, проведя к горизонтальной прямой вертикальные и равные отрезки и соединил точки То, что углы равны, можно доказать и без использования постулата о параллельных, однако при доказательстве того, что угол С равен прямому, постулат становится необходим. Напротив, предполагая, что угол С — прямой, можно вывести постулат о параллельных.

Рис. 44

Саккери, проявляя достаточную широту подхода к этому вопросу, рассмотрел три возможных случая:

1) когда угол С — прямой;

2) когда угол С — тупой;

3) когда угол С — острый.

Затем он пытался доказать осуществимость только первого случая. И хотя в конечном счете он потерпел неудачу, результаты, полученные им, позволили глубже вникнуть в суть рассматриваемого вопроса. Среди важных результатов, полученных Саккери, имеется следующая теорема: если предположить, что для какой-либо построенной таким образом фигуры справедливо одно из трех вышеупомянутых положений, то такое же условие будет иметь место и для любой другой фигуры, построенной аналогичным образом.

Исходя из какого-нибудь одного из трех допущений, можно вывести, что сумма внутренних углов треугольника либо равна двум прямом, либо больше, либо меньше суммы двух прямых.

Так, из первого допущения о прямом угле можно вывести, что если при пересечении двух прямых третьей прямой величины соответственных углов одинаковы, то в этом случае (и только в этом случае) эти две прямые не пересекутся при их продолжении.

Рис. 45

Далее, из второго допущения следует, что эти две прямые, напротив, пересекутся.

И наконец, из третьего допущения вытекает, что существует неограниченное число прямых, которые не пересекутся с данной прямой, если проводить их через точку, расположенную вне этой прямой.

Вероятно, в конечном счете Саккери, подобно другим исследователям, потерял основную нить в «безграничном болоте» рассуждений. Вполне возможно, что если бы Саккери в какой-то момент отказался от привычной мысли о том, что «евклидова геометрия — это единственная истина», то, как знать, он, может быть, стал бы первооткрывателем другой, неевклидовой геометрии.

Много усилий для доказательства постулата о параллельных линиях приложил также Лежандр. Благодаря его усилиям этой проблемой заинтересовались многие математики Франции и Англии. Основным результатом исследований Лежандра были, по-видимому, следующие выводы:

из допущения, что длина прямых линий неограниченна, следует, что сумма внутренних углов треугольника не может быть больше суммы двух Лрямых углов; если в одном треугольнике сумма внутренних углов равна двум прямым, то и во всяком любом другом треугольнике эта сумма равна двум прямым.

Считая евклидову геометрию «единственно истинной», он направил все свои силы на доказательство существования треугольника, сумма внутренних углов которого равна сумме двух прямых, но цели не достиг.

В это же время Гаусс (1777—1855) и некоторые из его учеников — Швейкарт (1780—1859),

Тауринус (1794—1874) и другие — вступали в «эпоху неевклидовой геометрии».

Первоначально Гаусс испытывал большое влияние Канта (1724—1804) и придерживался воззрений предшественников, считавших евклидову геометрию единственно истинной. Однако постепенно он пришел к мысли о невозможности доказательства постулата о параллельных линиях. Гаусс, по существу, был первым, кто поверил в возможность существования другой геометрии, помимо геометрии Евклида. Название «неевклидова геометрия» принадлежит ему (письмо Тауринусу от 8 ноября 1824 года).

Хотя из писем и заметок Гаусса явствует, какое значение он придавал новой геометрии, однако Гаусс не напечатал трудов по неевклидовой геометрии. Считают, что это произошло потому, что Гаусс боялся шумных скандалов со стороны невежд и ретроградов, «мудрецов из Готама», которые могли вспыхнуть из-за исключительной новизны его идей. Говорят, что у него была мысль опубликовать «в элегантной манере» положения неевклидовой геометрии вплоть до деталей.

В 1832 году Гаусс прочел приложение к книге по геометрии, изданной в том же году его другом Фаркашем Бойяи (1775—1856). В нем сын Фаркаша-Янош Бойяи (1802—

1860) — изложил основы неевклидовой геометрии.

Пока кратко остановимся на достижениях учеников и последователей Гаусса.

Швейкарт, профессор права в Марбургском университете, в 1818 году передал Гауссу свои геометрические исследования, содержание которых сводилось к новой системе

геометрических представлений, в основе которых лежало положение о том, что сумма внутренних углов треугольника меньше суммы двух прямых углов. Сам он дал этому название «Небесная или звездная геометрия».

Племянник Швейкарта Тауринус, который также интересовался проблемой параллельных линий, написал сочинение под названием «Основные элементы геометрии», в приложении к которому была приведена важная формула для углов треугольника в неевклидовой геометрии. Этот труд тогда не привлек внимания ученого мира, и от разочарования основную часть своих «Элементов» Тауринус сжег.

В 1826 году профессор математики Николай Иванович Лобачевский (1792—1856) в Казанском университете, где он в то время преподавал, обнародовал свое знаменитое сочинение. В развиваемой им «воображаемой» геометрии утверждалось, что «через точку, лежащую вне прямой, можно провести две прямые линии, параллельные ей», а также, что «сумма внутренних углов треугольника меньше суммы двух прямых углов».

Позднее, в 1840 году, им была

опубликована работа «Геометрические исследования по теории параллельных линий». А незадолго до смерти им была написана работа, подводившая итог его исследованиям, — «Пангеомет-рия».

Фаркаш Бойяи был другом Гаусса еще по Геттингену, и можно полагать, что они обсуждали проблему параллельных линий. Более того, два раза, в 1804 и 1808 году, Бойяи писал Гауссу о трудностях в поиске доказательства постулата о параллельных. Гаусс, обнаружив у него ошибки, ничего не ответил. Ф. Бойяи, устав от безрезультатных поисков ответа на этот трудный вопрос, впал в меланхолию, занялся сочинением стихов и пьес. Его сын, Янош Бойяи, унаследовал от отца интерес к проблеме параллельных линий. Сначала он продолжил исследования отца, но постепенно стал склоняться к мысли о недоказуемости аксиомы параллельных линий. В 1823 году он сформулировал основную идею неевклидовой геометрии и 23 ноября сообщил отцу о намерении опубликовать результаты своих исследований по проблеме параллельных линий: «Я сделал изумительные открытия. Отказаться от них я считал бы невосполнимой утратой. Когда ты прочтешь, дорогой отец, ты безусловно согласишься со мной. Пока я могу сказать только следующее: из ничего я сотворил новый мир», — писал он. Фаркаш Бойяи советовал сыну: «Если исследования действительно завершены, то они должны быть напечатаны как можно скорее. Ибо новые идеи, новые открытия могут произойти одновременно и независимо в разных местах». Его мысль, так это и произошло в действительности, оказалась верной.

Именно в это время Лобачевский в Казани, Гаусс в Геттингене, Тауринус в Кельне также находились у самого порога великого открытия. Однако работа Я. Бойяи не была опубликована до 1832 года. Результаты работы Я. Бойяи увидели свет, когда они были напечатаны в конце книги отца «Тентамен» в качестве «приложения, в котором излагается абсолютно истинное учение о пространстве» (Appendix; scientiam absolute veram exhibens).

Сочинение Лобачевского «Геометрические исследования...» 1840 года стало известно Бойяи в 1848 году. И тогда он предпринял своего рода рывок, стремясь завершить большую работу по теории пространства, задуманную им ранее. Однако значительная часть этой работы представляла собой нагромождение различных черновых набросков, не до конца осознанных и отработанных мыслей и идей. Его стремление превзойти своего русского соперника осталось неосуществленным.

Истории возникновения неевклидовой геометрии посвящена большая литература. Сегодня является общепризнанным, что Бойяи, Лобачевский и Гаусс одновременно и совершенно. независимо друг от друга открыли неевклидову геометрию. Но, поскольку благодаря убежденности и смелости мысли Бойяи и Лобачевский сочли возможным опубликовать свои труды, честь открытия принадлежит в первую очередь им.

Вспомним, Саккери в своих построениях рассматривал три отдельных случая в

зависимости от величины угла. Между тем Бойяи, Лобачевский и Гаусс рассматривали в неевклидовой геометрии только случай острого угла. Вызывает лишь чувство удивления, что они не рассматривали случай тупого угла, когда сумма внутренних углов треугольника становится больше суммы двух прямых углов и длина прямых линий становится конечной.

Это было рассмотрено Риманом (1826— 1866). О его новой геометрии на сферической поверхности, где любые две прямые линии пересекаются, стало известно в 1854 году. Труды Римана были опубликованы после его смерти, в 1866 году.

Часто встречающиеся в литературе названия геометрии Лобачевского — «гиперболическая», геометрии Римана — «эллиптическая», а евклидовой геометрии — «параболическая» принадлежат Клейну.

Остановимся вкратце на опытах, которые проводил Гаусс. Согласно основному положению Гиперболической геометрии сумма внутренних углов треугольника меньше суммы двух прямых углов. Поэтому, чтобы выяснить, какова геометрия реального пространства, Вселенной — гиперболическая, эллиптическая или параболическая, следовало бы ответить на вопрос, какова сумма внутренних углов треугольника. Тем самым вопрос о том, какова геометрия Вселенной, ставится на естественнонаучную основу. Известно, что Гаусс, будучи научным руководителем

астрономической обсерватории, проводил измерения углов треугольников, поднимаясь на три горные вершины. Однако он не в полной мере отдавал себе отчет в том, сколь значительны неизбежные погрешности этих измерений.

История неевклидовой геометрии здесь изложена достаточно подробно. Трудно тем не менее переоценить то воздействие, которое оказала она во всем мире на расширение научных горизонтов, углубление взглядов на основания математики, на естественнонаучное мировоззрение.

Излагая историю вопроса, мы придерживались главным образом книги Соммервилля «Элементы неевклидовой геометрии» (Лондон, 1914 г.).