§ 2. Содержание топологии

Как уже отмечалось, зарождение топологии связано с идеей Лейбница о существовании новой геометрии, которую он называл геометрией положения. Однако в настоящее время трудно точно определить, каково было конкретное содержание этой идеи. В письме Гюйгенсу (1629—1695) осенью 1679 года Лейбниц писал: «Я полагаю, что в отличие от алгебры, имеющей дело с величинами, необходима какая-то новая дисциплина, непосредственно исследующая задачи геометрии положения». В дальнейшем он стал называть этот раздел «Analysis Situs».

Гюйгенс, получив письмо, не мог понять новой идеи и в ответном письме Лейбницу писал: «В твоих рассуждениях я не вижу ничего особенного, что заслуживало бы внимания». Однако, поскольку Лейбниц не отказался от своих взглядов и по-прежнему настаивал на правомерности и необходимости существования науки Analysis Situs, Гюйгенс в конце концов в другом письме ответил ему: «... необходимы реальные примеры, которые могли бы развеять мое недоверие к новой области науки». Лейбниц не привел каких-либо конкретных примеров и, высказавшись в сократовском духе: «Он еще зелен», прекратил исследования в analysis situs. Несомненно, что не случайно Лейбниц верил в существование

геометрии положения, однако эта идея у него была еще не вполне определенной и ясной.

Только у Эйлера analysis situs получил свое первое конкретное воплощение в виде известной задачи о кенигсбергских мостах и теоремы Эйлера о многогранниках.

В 1736 году Эйлер решил задачу о кенигсбергских мостах. Представляя ее читателю, он писал: «Задача, подобная этой, видимо, относится к «геометрии положения», о которой говорил Лейбниц». Она заключается в следующем. В Кенигсберге было семь мостов.

Рис. 52

Можно ли было пройти по всем этим мостам, причем по каждому из них лишь один раз, и вернуться в начало пути. Эйлер установил невозможность положительного решения этой довольно простой задачи.

В другой известной работе Эйлера содержится найденная им в 1752 году формула для многогранника (формула Эйлера). Эта формула часто применяется в математике: где обозначает число вершин, — число ребер и число граней многогранника. Формула по своей сути никак не связана с величинами таких параметров

многогранника, как длина ребер или величина углов. Она устанавливает вполне определенное соотношение между числами вершин, ребер и граней в произвольном многограннике. Именно тем и замечательна теорема Эйлера, что она устанавливает такое свойство многогранников, которое никак не зависит от их метрики. Эта идея, пронизанная мыслью Лейбница, впоследствии была воспринята и развита такими математиками, как Кэли, Мёбиус и другие.

Заметим, что это соотношение Эйлера было известно еще Декарту, который, однако, при доказательстве использовал такие метрические элементы, как величина углов многоугольников. Доказательство же Эйлера замечательно тем, что в нем метрические величины оказались ненужными.

Через сто лет после Эйлера Листинг и другие математики обобщили содержание этой теоремы. Например, была получена аналогичная формула не только для многогранника, но и для тора, который показан на рис. 53.

Если число вершин равно число ребер а число граней то в случае тора формула имеет вид Затем спустя еще 60 лет, уже в XX веке, эта теорема была обобщена до так называемой формулы

Рис. 53

Эйлера — Пуанкаре, относящейся к сложным многогранным фигурам общего вида.

В топологии XVIII века хотя и можно перечислить несколько работ, заслуживающих внимания, трудов, имеющих принципиальное значение и относящихся к этому периоду, нет. Среди тех, кто внес вклад в развитие топологии в начале XIX века, выделяется Гаусс. Гаусс был крупнейшей фигурой не только в области математики, но и в области физики. Он получил фундаментальные результаты в различных областях математики — алгебре, теории чисел, геометрии. Как мы уже отмечали, он был одним из первооткрывателей неевклидовой геометрии. В то же время у Гаусса есть несколько работ, которые можно отнести к топологии. Наиболее ранняя из них — это работа 1794 года, посвященная вопросу о пересечении кривых линий. Другие его более поздние исследования касаются таких вопросов, как форма кривых линий, их строение и взаимное расположение. О том, какое важное значение он придавал геометрии положения и какие большие надежды на нее возлагал, можно судить по некоторым его высказываниям. В 1799 году Гаусс представил докторскую диссертацию, в которой излагалось доказательство основной теоремы алгебры. Касаясь в ней вопроса о взаимном расположении кривых линий на плоскости, он заметил, в частности, что «доказательства, которые строятся на основе геометрии положения, более сжаты и ясны, чем доказательства, вытекающие из положений геометрии величин».

В одном из писем от 1802 года Гаусс писал, что при дальнейшем исследовании «на этом малоизведанном направлении могут

открыться перспективы развития исключительно интересного раздела великой науки математики», из чего, безусловно, видно, какие большие надежды он возлагал на эту область геометрии. Во вступлении к своему сочинению «Вычисление коэффициентов зацепления кривых линий», которое датировано 1833 годом и является весьма характерным для его исследований по топологии, Гаусс, в частности, писал: «В области геометрии положения, основные черты которой были предугаданы Лейбницем и где только нескольким геометрам, таким, как Эйлер и Вандермонд (1735—1796), удалось завершить несколько достойных внимания работ, на протяжении почти полутора веков мы не имеем по существу никаких достижений. В этой области, где пути геометрии положения и геометрии величин идут рядом, одной из существенных проблем является, вероятно, проблема вычисления коэффициентов зацепления двух кривых линий». В проблеме коэффициентов зацепления речь идет о взаимном расположении двух замкнутых кривых в пространстве, как это, например, показано на рис. 54.

Рис. 54

Коэффициент зацепления кривых с и с, расположенных слева, равен 0, а кривых справа, равен 1. На правом рисунке любая кривая поверхность ограниченная контуром с, обязательно пересечет с. Гаусс вычислил коэффициенты для этого случая, используя систему координат и методы аналитической геометрии. Однако здесь можно вычислить коэффициент зацепления и не прибегая к аналитическим средствам, а только с помощью топологических методов. Можно сказать, что если теорема Эйлера относится к выявлению свойств фигур, то результат, полученный Гауссом, имеет отношение к их взаимному расположению.

Под влиянием Гаусса активные исследования в области топологии вели Мёбиус, Листинг, Риман.

Мёбиус, переехав в Геттинген в 1813 году, долгое время работал под руководством Гаусса в астрономической обсерватории. Исследования Мёбиуса в основном относятся к теории поверхностей. Например, он определил, чем замкнутые кривые линии на поверхности тора отличаются от замкнутых кривых на сферической поверхности. Он первым исследовал знаменитый, так называемый «лист Мёбиуса»

Рис. 55

и занимался изучением свойств ориентируемых поверхностей.

Поверхность сферы и поверхность тора, будучи ориентируемыми поверхностями, имеют «лицевую» и «оборотную» стороны, однако у «листа Мёбиуса» нельзя провести различие между сторонами, поэтому такие поверхности стали называть односторонними. Насекомое, ползущее по такой кривой поверхности и «считающее» данную сторону лицевой, продолжая свой путь, приползет в исходную точку, но с обратной стороны. Помимо «листа Мёбиуса», неориентируемой поверхностью является также проективная плоскость.

Листинг в 1836 году писал, что он, «стремясь изучить геометрию расположения, многое узнал и открыл в период практических исследований в геттингенской обсерватории благодаря общению с Гауссом». Листингу принадлежит постановка задачи о расположении в пространстве замкнутой кривой линии (проблема узлов). Замкнутую кривую, расположенную в пространстве, так, как это изображено на рис. 56, невозможно распутать в окружность, поскольку ее положение в пространстве существенно отличается от расположения окружности. Проблема узлов — это топологичеекая задача,

Рис. 56

она чрезвычайно сложна, и сейчас еще далеко до ее полного решения.

Листинг, как и Мёбиус, начиная примерно с 1858 года, приступил к исследованию кривых поверхностей и, так же, как и Мёбиус, открыл неориентируемые кривые поверхности. В дальнейшем исследования привели его к более широкому аналогу теоремы Эйлера для любых поверхностей. А вместе с Гауссом он пришел к открытию общего понятия связности кривых поверхностей.

Таким образом, математики, группировавшиеся вокруг Гаусса, занимаясь систематическими исследованиями по теории поверхностей, внесли значительный вклад в эту область геометрии. В 1851 году Риман в своей диссертации изложил собственные исследования по так называемым римановым поверхностям. По словам Штеккеля (1862—1919), «мысли Римана были абсолютно оригинальны и самобытны, даже у Гаусса не намечалось столь общей идеи многолистной поверхности». Теория римановых поверхностей явилась важным этапом в разработке общей теории функций. И в настоящее время продолжаются начатые им геометрические и аналитические исследования топологического характера.

Систематические исследования по теории поверхностей продолжались и во второй половине XIX века, пока, наконец, в топологии замкнутых кривых поверхностей не были определены все виды кривых поверхностей. Исследования в этом направлении следом за Риманом и Мёбиусом вели Жордан (1838— 1922), Шлефли (1814—1895) и другие. О классификации кривых поверхностей будет говориться ниже, в главе 6.

Одновременно с развитием теории поверхностей возникло и более общее понятие — многообразие любого числа переменных. Теория многообразий в настоящее время — это не только топологический вопрос; с ней тесно связаны многие вопросы других областей математики. В этом направлении было получено немало фундаментальных теорем топологического характера. О некоторых из них мы расскажем в главе 8. Достижения в исследовании многообразий в XIX веке наиболее заметны в работах Шлефли — 1852 год, Римана — 1854 год, Бетти (1823—1892) — 1870 год. Например, Бетти, который использовал в своей работе аналитические средства, принадлежит введение известной числовой характеристики многообразия (число Бетти).

Наконец, уже совсем недавно вновь заговорили о знаменитой так называемой задаче о четырех красках, на которой мы сейчас остановимся.

Этазадача была поставлена еще в 1850 году Газри. Суть ее состоит в следующем: условимся при раскраске географической карты соседние страны окрашивать в разные цвета. Страны считаются соседними, если они имеют общую разделяющую их границу; две страны, которые имеют лишь одну общую вершину, соседними не считаются. Вопрос в том, какое количество цветов необходимо и достаточно иметь для такой раскраски.

На до сих пор известных картах, как на

плоских, так и на сферических, всегда достаточно было четырех цветов. Однако доказать, что это верно для любой карты, не удавалось. Это обстоятельство приобрело еще более интригующий характер, когда обнаружилось, что аналогичную задачу для карт, нарисованных на более сложных поверхностях (торе и вообще поверхности любого рода, речь о которых будет идти ниже), напротив, удалось решить.

Для произвольной карты, нарисованной на поверхности тора, как правило, необходимо и всегда достаточно семи цветов. Довольно просто доказывается, что для сферы всегда достаточно пяти цветов. После того как задача о четырех красках была представлена для обсуждения А. Кэли, который отметил при этом вероятную сложность ее решения, она стала всемирно известной.

Задача сама по себе проста и доступна, и в прошлом попытки ее решить предпринимались многими. Тем не менее на протяжении ста лет приходилось признавать, что задача все еще не решена. Однако в 1976 году американский журнал «Nature» сообщил, что два математика из Иллинойсского университета — К. Аппель и В. Хэйкен, заставив ЭВМ работать над решением указанной задачи около 1200 часов, получили положительное ее решение. Ими были опубликованы данные о методе решения этой задачи. Некоторые математики, правда, высказывают сомнение в том, что задача действительно решена. По-видимому,

убедиться в этом можно лишь постепенно, с течением времени, тем более что практическая проверка правильности решения требует исключительных затрат времени и средств. Решение этой проблемы, которую можно в определенном смысле как труднейшую из самых трудных поставить в один ряд со знаменитой проблемой Ферма (1601 —1665), стало настоящей сенсацией в математической жизни. Однако следует отметить, что задача о четырех красках интересна лишь сама по себе и в теоретическом отношении заметного влияния на топологию оказать, по-видимому, не может. С другой стороны, предположение Пуанкаре, о котором пойдет речь в главе 8, явилось и серьезной топологической задачей и вместе с тем оказало своим решением большое влияние на теорию в целом.