Глава 7. Топологические инварианты

Первостепенной задачей топологии является поиск общих методов, направленных на решение вопроса о том, гомеоморфны ли между собой или нет те или иные топологические пространства. Конечно, вопрос о существовании гомеоморфизма в некоторых конкретных случаях, например, когда в качестве топологического пространства взята последовательность точек или в столь же простом примере с двумерным диском, можно исследовать непосредственно. Однако нетрудно понять, что в общем случае поиск гомеоморфизма двух пространств в процессе последовательного изучения бесконечной цепи непрерывных отображений вряд ли увенчается успехой, даже если на это будет затрачена жизнь. I Для того чтобы действительно сделать какой-нибудь вывод, необходимо исследование соответствующих инвариантных свойств с последующим выяснением, обладают ли топологические пространства указанными свойствами. Одним из таких свойств является связность топологического пространства, о чем мы уже упоминали.

Если пространство связно, а пространство этим свойством не обладает, то сразу можно сказать, что негомеоморфны. Правомерность этого вывода основана на следующей теореме.

Теорема 1. Пусть пространства гомеоморфны. Тогда из связности следует связность пространства

Перевернув утверждение георемы, можно сказать, что если одно из двух пространств скажем связно, а. другое нет, то негомеоморфны. Свойства, которые неотъемлемо присущи всем гомеоморфным между собой топологическим пространствам, как, например, свойство связности, называются топологическими инвариантами, Выступая с позиций Клейна, можно сказать, что в топологии юучаются те геометрические свойства, которые неизменны при топологических преобразованиях, т. е. топологически инвариантны.

Развитие идей Пуанкаре, относящихся к исследованию сложных геометрических тел — комплексов, привело к созданию особого раздела топологии — теории групп гомологии, которые определяются из геометрических свойств комплексов и являются топологическим инвариантом. Исчерпывающее доказательство того, что эти группы действительно топологически инвариантны, было получено лишь впоследствии. Пуанкаре ввел также фундаментальные группы и устан овил их топологическую инвариантность. Доказательство того, что эти группы представляют собой топологический инвариант, довольно простое. Об этих группах речь пойдет ниже, в § 1 настоящей главы, здесь мы остановимся лишь

на доказательстве теоремы 1 о топологической инвариантности линейной связности.

Линейная связность топологического пространства состоит в том, что для двух произвольно взятых в нем точек существует связывающий их путь. Топологическое пространство, содержащее хотя бы две точки, которые нельзя соединить путем, является линейно несвязным.

Рис. 83

Доказательство теоремы 1. Чтобы доказать линейную связность пространства нужно для любых двух его точек установить существование в связывающего их пути. топологически эквивалентные пространства, т. е. между ними существует гомеоморфизм Ввиду взаимной однозначности отображения пространства на все пространство точки имеют в пространстве по одному прообразу

Предполагая, что пространство связно, мы тем самым допускаем, что для точек

и существует непрерывное отображение отрезка множества всех — рациональных и иррациональных — чисел между и 1) в пространство для которого

Если вслед за отображением проделать непрерывное отображение то в результате получится естественно непрерывное отображение, которое имеет вид:

причем

Это и будет путь, соединяющий При несколько более внимательном рассмотрении этого несложного доказательства, в котором используются определения пути и связности, ясно, что в данной теореме достаточно тофжо непрерывности отображения без требования топологичности. В качестве можно взять любые прообразы точек

Соответствующая теорема гласит: непрерывный образ связного топологического пространства также связен. Так называемый образ здесь — это преобразованная отображением геометрическая фигура.