§ 2 О содержании гиперболической геометрии

Гиперболическая геометрия (или геометрия Лобачевского) обладает известными особенностями, о которых уже говорилось выше. Как и евклидова геометрия, она строится на аксиоматическом фундаменте. Система аксиом гиперболической геометрии отличается от евклидовой аксиоматики в йном: в качестве аксиомы о параллельных берется положение о том, что «через точку,

находящуюся вне прямой, можно провести две прямые линии, параллельные ей». Из этой аксиомы шаг за шагом геометрически (синтетически) выводятся другие свойства этой геометрии.

Гиперболическая геометрия в отличие от проективной геометрии рассматривает фигуры вместе с их мероопределением и, подобно евклидовой геометрии, имеет абсолютную единицу измерения углов в виде развернутого угла, равного двум прямым углам. Математическое определение параллельных линий на гиперболической плоскости формулируется следующим образом: прямые и (рис. 46) считаются параллельными, если они удовлетворяют трем условиям:

1) прямые и находятся в одной плоскости;

2) прямые и не пересекаются;

3) если внутри угла провести прямую через точку В, то она обязательно пересечется с угрямой

Затем формулируется аксиома: через точку О, находящуюся вне прямой линии можно провести две прямые и параллельные прямой

Опустим из точки О на прямую I перпендикуляр (это можно сделать, не применяя постулат о параллельных прямых).

Рис. 46

Если положить, что то величина угла оказывается, зависит от величины Назовем этот угол углом параллельности и обозначим его через непрерывно меняется в в зависимости от изменения величины Если стремится к бесконечности, то стремится к нулю, если же стремится к нулю, то стремится к прямому углу.

Рис. 47

При этом остается всегда меньше прямого угла. Параллельные прямой линии I прямые и разбивают семейство прямых, проходящих через точку О, на следующие две группы: на группу прямых, пересекающихся с и на группу расходящихся с ней прямых.

Давайте постараемся эти необычные (или, вернее, считающиеся необычными) построения понять на другом рисунке, более доступном для непосредственного восприятия. Возьмем на проективной плоскости кривую линию второго порядка. Находящиеся внутри кривой точки назовем действительными, а находящиеся вне — идеальнымй. Далее, в качестве гиперболической плоскости будем рассматривать множество лишь действительных точек.

Идеальные точки в этом случае не рассматриваются. Кривую второго порядка называют абсолютом, а ее точки — бесконечно удаленными. Прямые не пересекаются с прямой в действительной точке, но пересекаются в точках абсолюта.

Рис. 48

В конструируемой нами модели неевклидовой плоскости прямые играют роль параллельных к прямых, проходящих через точку А. Прямая же пересекается с в идеальной точке, и в гиперболической геометрии она представляет прямую, расходящуюся с

Среди проективных преобразований проективной плоскости выделим те, при которых абсолют переходит в себя. Вообще говоря, при проективных преобразованиях овальная линия переходит в другую овальную линию второго порядка, однако мы выбираем только те преобразования, при которых Область внутри переводится в себя, и дело, таким образом, можно свести к проективному преобразованию в себя ограниченной части плоскости. В проективной модели гиперболической

геометрии эти преобразования играют роль движений. Напомним здесь, что аффинное преобразование представимо проективным, при котором преобразуется в себя некоторая прямая на проективной плоскости.

Обозначим преобразование, сохраняющее кривую через точку на через а две прямые линии, пересекающиеся в точке й, — через и пусть Тогда прямым соответствуют прямые которые пересекаются в точке т. е. параллельные прямые переходят в параллельные.

Рис. 49

Общая идея параллельности на проективной модели ясна из рис. 49, но гиперболическая геометрия — это геометрия, в которой присутствует также и расстояние. Как определить расстояние между точками так, чтобы при проективном соответствии фигур оно сохранялось. Это было сделано Клейном, который определил расстояние между точками (рис. 50) по формуле

Эта формула, известная под названием

«метрика Кэли», была введена в математику английским ученым А. Кэли (1821—1895). Клейну же, который знал эту формулу, пришла в голову идея применить ее в качестве определения расстояния в проективной модели неевклидовой геометрии.

На проективной плоскости отсутствует такое мероопределение, как длина, и так называемое ангармоническое, или сложное, отношение четырех точек вводится при помощи понятия отношения отрезков.

Рис. 50

Понятие ангармонического отношения встречается в работах по евклидовой геометрии, но в евклидовом случае оно определяется при помощи длин отрезков. Естественно, введение такого отношения в проективной геометрии имеет свои особенности.

К сожалению, из-за недостатка места мы вынуждены отказаться от подробного изложения этого материала.

Ангармоническое отношение четырех точек замечательно тем, что оно не меняет своей величины при проективных преобразованиях. Следовательно, если при проективном преобразовании -точки преобразуются в , то

Таким образом, при преобразовании сохраняется расстояние, введенное на модели гиперболической плоскости. В соответствии с этим определением длины

И все же точкам, лежащим на абсолюте, несмотря на их бесконечную удаленность, в гиперболической геометрии уделяется особое внимание.

Можно показать, что данное определение длины удовлетворяет обычным условиям расстояния. Например, для трех точек расположенных на одной прямой, справедливо

Аналогично этому Клейн также доказал существование эллиптической геометрии — другого варианта неевклидовой геометрии.

Рис. 51