Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 2 О содержании гиперболической геометрииГиперболическая геометрия (или геометрия Лобачевского) обладает известными особенностями, о которых уже говорилось выше. Как и евклидова геометрия, она строится на аксиоматическом фундаменте. Система аксиом гиперболической геометрии отличается от евклидовой аксиоматики в йном: в качестве аксиомы о параллельных берется положение о том, что «через точку, находящуюся вне прямой, можно провести две прямые линии, параллельные ей». Из этой аксиомы шаг за шагом геометрически (синтетически) выводятся другие свойства этой геометрии. Гиперболическая геометрия в отличие от проективной геометрии рассматривает фигуры вместе с их мероопределением и, подобно евклидовой геометрии, имеет абсолютную единицу измерения углов в виде развернутого угла, равного двум прямым углам. Математическое определение параллельных линий на гиперболической плоскости формулируется следующим образом: прямые 1) прямые 2) прямые 3) если внутри угла Затем формулируется аксиома: через точку О, находящуюся вне прямой линии Опустим из точки О на прямую I перпендикуляр
Рис. 46 Если положить, что
Рис. 47 При этом Давайте постараемся эти необычные (или, вернее, считающиеся необычными) построения понять на другом рисунке, более доступном для непосредственного восприятия. Возьмем на проективной плоскости кривую линию Идеальные точки в этом случае не рассматриваются. Кривую
Рис. 48 В конструируемой нами модели неевклидовой плоскости прямые Среди проективных преобразований проективной плоскости выделим те, при которых абсолют переходит в себя. Вообще говоря, при проективных преобразованиях овальная линия геометрии эти преобразования играют роль движений. Напомним здесь, что аффинное преобразование представимо проективным, при котором преобразуется в себя некоторая прямая на проективной плоскости. Обозначим преобразование, сохраняющее кривую
Рис. 49 Общая идея параллельности на проективной модели ясна из рис. 49, но гиперболическая геометрия — это геометрия, в которой присутствует также и расстояние. Как определить расстояние между точками так, чтобы при проективном соответствии фигур оно сохранялось. Это было сделано
Эта формула, известная под названием «метрика Кэли», была введена в математику английским ученым А. Кэли (1821—1895). Клейну же, который знал эту формулу, пришла в голову идея применить ее в качестве определения расстояния в проективной модели неевклидовой геометрии. На проективной плоскости отсутствует такое мероопределение, как длина, и так называемое ангармоническое, или сложное, отношение четырех точек вводится при помощи понятия отношения отрезков.
Рис. 50 Понятие ангармонического отношения встречается в работах по евклидовой геометрии, но в евклидовом случае оно определяется при помощи длин отрезков. Естественно, введение такого отношения в проективной геометрии имеет свои особенности. К сожалению, из-за недостатка места мы вынуждены отказаться от подробного изложения этого материала. Ангармоническое отношение четырех точек замечательно тем, что оно не меняет своей величины при проективных преобразованиях. Следовательно, если при проективном преобразовании
Таким образом, при преобразовании И все же точкам, лежащим на абсолюте, несмотря на их бесконечную удаленность, в гиперболической геометрии уделяется особое внимание. Можно показать, что данное определение длины удовлетворяет обычным условиям расстояния. Например, для трех точек Аналогично этому Клейн также доказал существование эллиптической геометрии — другого варианта неевклидовой геометрии.
Рис. 51
|
1 |
Оглавление
|