Глава 6. Топология и теория поверхностей

§ 1. Топология

Можно со всей определенностью сказать, что хотя в XIX веке топология и до: билась замечательных результатов в теории поверхностей, на самом деле это был всего лишь период ее зарождения, ее предыстория.

О топологии часто говорят как о геометрии резиновой пленки. Исследования Листинга и об узлах, и о поверхностях — все это геометрия в одном случае замкнутой узкой резинки, в другом — тонкой резиновой пленки. При деформации резина рвется не сразу, она свободно растягивается, сжимается, она эластична. И при таком растяжении или сжатии сохраняются существенные особенности кривых линий и поверхностей. Иначе говоря, в топологии при рассмотрении кривых линий и поверхностей совершенно не учитывается ни длина линий, ни величина углов. Ответ на вопрос о том, какие поверхности топологически эквивалентны между собой, а какие нет, зависит от более глубоких их свойств.

На рубеже XIX—XX веков топология наряду с исследованием поверхностей добилась благодаря усилиям Кантора и главным образом Пуанкаре серьезных успехов в создании теоретического фундамента. Правда, теория Кантора, как мы знаем, изучает множество лишь с точки зрения возможности приведения их во взаимно однозначное соответствие. В его теории единственным отличительным признаком множества в безграничном мире множеств является его мощность. Канторов-ская классификация множеств довольно грубая, до познания истинных свойств фигур здесь далеко, и геометрия не может быть построена только на ней. С канторовской точки зрения, оказываются эквивалентными между собой, например, множества точек отрезка прямой и квадрата, и поэтому невозможно провести различие между множествами даже относительно их размерности.

Напомним, что множество всех точек целых

чисел и множество всех чисел с теоретикомножественной точки зрения эквивалентны, поскольку между ними, как мы уже говорили раньше, существует взаимно однозначное соответствие . Однако если посмотреть на расположение точек на прямой линии, то здесь мы имеем совершенно разные картины. Так, когда принимает сколь угодно большие целочисленные значения, то соответствующие точки в сколь угодно близки к 0. Последовательность сходится к 0,

а точка является предельной точкой, или, как еще говорят, точкой накопления множества

Понятие предельной для множества точки можно сформулировать иначе: в любой сколь угодно маленькой окрестности точки всегда содержится бесконечная часть множества . В нашем примере сама точка не принадлежит Между тем у множества предельных точек нет. Это пример того, как два множества, эквивалентные в общей теории множеств, с геометрической точки зрения неодинаковы. Различие между в их

Рис. 57

расположении на прямой находит свое выражение в топологии, хотя и здесь имеются свои особенности. Продолжая эту мысль дальше, нам следовало бы понять, как устроено множество, у которого имеются предельные точки. Пусть множество есть диск (рис. 58). Любая его граничная точка а также любая внутренняя точка являются предельными точками этого множества.

Рис. 58

Во множестве можно указать последовательности точек соответственно сходящиеся к

Сходитсд ли та или иная последовательность точек? Если да, то к какой точке? Принадлежит ли множеству предельная точка? Все это вопросы топологии, и подобные отношения между точками множества составляют его топологическую структуру. Топологическое различие двух множеств есть не что иное, как различие их топологических структур.

Говоря подробнее о различных топологических структурах точечных множеств, следует

в качестве примера отметить, что множество дробных чисел и образованное путем добавления к точки 0% (предельной точки) множество точек топологически будут отличаться друг от друга. Причина состоит в том, что множеству его предельная точка принадлежит, в то время как в множестве эта точка содержится.

Рассматриваемые в топологии множества точек обычно называют пространством. Под пространством здесь понимают не только трехмерное пространство, то есть пространство с тремя координатами; множество точек только с одной координатой тоже является пространством — одномерным. Множество всех точек прямой как, впрочем, и множество всех натуральных чисел содержащееся в но рассматриваемое само по себе, независимо от это примеры пространств. Если же принимать во внимание, что содержится в то говорят как о подпространстве пространства Если в пространстве так или иначе выявлена топологическая структура, то такое пространство называют топологическим.

Рассматривая в связи с топологическими вопросами понятие предельной точки, мы использовали (без объяснения) понятие окрестности, хотя логичнее было бы сначала дать определение этого термина. Популярная интерпретация понятия окрестности сводится к тому, что это множество точек, близко расположенных к данной точке.

Так, на евклидовой плоскости можно определить -окрестность точки О, где положительное число как множество всех точек

плоскости расстояние которых до О меньше Варьируя значение можно получить много вариантов -окрестности для каждой точки. В действительности понятие окрестности является фундаментальным в топологии.

Рис. 59

Так, для того чтобы множество А можно было рассматривать как топологическое пространство, необходимо определить для каждой точки множества А систему окрестностей, которая, разумеется, должна удорлетворять нескольким условиям. Если в евклидовом пространстве выбрать множество А точек, то в качестве системы окрестностей точки достаточно взять систему где в — пробегает положительные рациональные и иррациональные числа. Теперь, когда имеется представление об окрестностях, данное ранее определение предельной точки становится ясным.

Исходная идея всей топологии заключается прежде всего в концепции непрерывности. Непрерывность является абсолютно необходимым теоретическим фактором математического анализа, который рассматривает функции непрерывно зависящие от Здесь уместно подчеркнуть, что о непрерывности функции можно говорить лишь на основании

того, что числовая прямая рассматривается в конечном счете как пространство, наделенное топологической структурой.

Рассмотрим понятие непрерывного отображения.

Направленное из топологического пространства А в топологическое пространство В непрерывное отображение должно по определению удовлетворять следующим двум условиям:

1. Каждой точке пространства А соответствует одна и только одна точка у в пространстве (условие отображения).

2. Если в пространстве А последовательность точек сходится к точке то соответствующая в пространстве последовательность точек сходится к точке которая соответствует точке пространства А при отображении

Поясним это несколькими примерами.

А). Для упоминавшихся выше числовых множеств рациональных чисел можно построить соответствие -следующим образом: Такое отображение является непрерывным. И хотя пространство не содержит предельную точку 0, которая содержится

Рис. 60

в данном случае это не имеет значения. Если же строить обратное соответствие по формуле то нужно попытаться найти в точку соответствующую 0, которая содержится в Так как не содержит 0, то какое бы в качестве число ни взять, отображение не будет удовлетворять указанному выше условию (2).

Б). Действительная функция представляет собой отображение некоторого подмножества числовой прямой пространства в пространство опять же

Рис. 61

Рис. 62

Если на оси координат откладывать значения а на оси значения то мы получим множество точек график функции (рис. 61 и 62).

Если график как это показано на рис. 62, претерпевает разрыв при значении то соответствующая сходящейся к

последовательности точек рис. 62) последовательность на оси также является сходящейся, однако ее предельная точка не совпадает с Здесь нарушено условие (2) непрерывности. Другими словами, функция в точке не является непрерывной.

Такой важный момент, как формулировка условия непрерывности, на протяжении продолжительного периода являлся предметом многочисленных математических исследований. Но если говорить о непрерывном отображении попросту, то можно сказать, что точка, близкая к точке преобразуется в точку, близкую к соответствующей точке . В топологии идея непрерывности непосредственно трансформируется в имеющий фундаментальное значение вопрос о топологическом отображении.

Два топологических пространства называются гомеоморфными, если для некоторого точечного отображения выполняются следующие два условия:

1. представляет собой взаимно однозначное соответствие (А и В эквивалентны как множества).

2. Как соответствие так и обратное соответствие непрерывны (условие взаимной непрерывности).

Способ выбора соответствия при этом не является единственным. Но даже если известно только одно такое соответствие, то мы все равно имеем дело с топологической эквивалентностью пространств или, как еще иначе говорят, гомеоморфизмом пространств.

К примеру, поверхность тетраэдра и сферы гомеоморфны. Точки этих поверхностей

можно привести в соответствие, как показано на рис. 63. Совершенно ясно, что при этом взаимно однозначном соответствии точке, близкой к соответствует точка, близкая к и обратно.

В топологии гомеоморфные фигуры (пространства) считаются равными. В связи с этой новой точкой зрения нет различия между сферой и поверхностью тетраэдра.

Рис. 63

Основной проблемой топологии является вопрос о том, какие фигуры между собой гомеоморфны, а какие — нет. В этом заключена проблема топологической классификации. Следуя идеям Клейна, высказанным в его Эрлангенской программе, можно сказать, что топология является той областью геометрии, которая исследует геометрические свойства фигур, инвариантные при топологических преобразованиях.

Слова «геометрия резинки или резиновой пленки» выражают суть топологии, так как растяжение резиновой пленки без разрывов и есть как раз взаимно однозначное

соответствие, при котором близкие точки переходят в близкие точки. Ну а раз это соответствие топологическое, то деформирующаяся пленка остается в том же классе топологически эквивалентных фигур.