Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава 6. Топология и теория поверхностей§ 1. ТопологияМожно со всей определенностью сказать, что хотя в XIX веке топология и до: билась замечательных результатов в теории поверхностей, на самом деле это был всего лишь период ее зарождения, ее предыстория. О топологии часто говорят как о геометрии резиновой пленки. Исследования Листинга и об узлах, и о поверхностях — все это геометрия в одном случае замкнутой узкой резинки, в другом — тонкой резиновой пленки. При деформации резина рвется не сразу, она свободно растягивается, сжимается, она эластична. И при таком растяжении или сжатии сохраняются существенные особенности кривых линий и поверхностей. Иначе говоря, в топологии при рассмотрении кривых линий и поверхностей совершенно не учитывается ни длина линий, ни величина углов. Ответ на вопрос о том, какие поверхности топологически эквивалентны между собой, а какие нет, зависит от более глубоких их свойств. На рубеже XIX—XX веков топология наряду с исследованием поверхностей добилась благодаря усилиям Кантора и главным образом Пуанкаре серьезных успехов в создании теоретического фундамента. Правда, теория Кантора, как мы знаем, изучает множество лишь с точки зрения возможности приведения их во взаимно однозначное соответствие. В его теории единственным отличительным признаком множества в безграничном мире множеств является его мощность. Канторов-ская классификация множеств довольно грубая, до познания истинных свойств фигур здесь далеко, и геометрия не может быть построена только на ней. С канторовской точки зрения, оказываются эквивалентными между собой, например, множества точек отрезка прямой и квадрата, и поэтому невозможно провести различие между множествами даже относительно их размерности. Напомним, что множество всех точек целых чисел
а точка Понятие предельной для множества
Рис. 57 расположении на прямой находит свое выражение в топологии, хотя и здесь имеются свои особенности. Продолжая эту мысль дальше, нам следовало бы понять, как устроено множество, у которого имеются предельные точки. Пусть множество
Рис. 58 Во множестве Сходитсд ли та или иная последовательность точек? Если да, то к какой точке? Принадлежит ли множеству предельная точка? Все это вопросы топологии, и подобные отношения между точками множества составляют его топологическую структуру. Топологическое различие двух множеств есть не что иное, как различие их топологических структур. Говоря подробнее о различных топологических структурах точечных множеств, следует в качестве примера отметить, что множество дробных чисел Рассматриваемые в топологии множества точек обычно называют пространством. Под пространством здесь понимают не только трехмерное пространство, то есть пространство с тремя координатами; множество точек только с одной координатой тоже является пространством — одномерным. Множество всех точек прямой Рассматривая в связи с топологическими вопросами понятие предельной точки, мы использовали (без объяснения) понятие окрестности, хотя логичнее было бы сначала дать определение этого термина. Популярная интерпретация понятия окрестности сводится к тому, что это множество точек, близко расположенных к данной точке. Так, на евклидовой плоскости плоскости
Рис. 59 Так, для того чтобы множество А можно было рассматривать как топологическое пространство, необходимо определить для каждой точки Исходная идея всей топологии заключается прежде всего в концепции непрерывности. Непрерывность является абсолютно необходимым теоретическим фактором математического анализа, который рассматривает функции того, что числовая прямая Рассмотрим понятие непрерывного отображения. Направленное из топологического пространства А в топологическое пространство В непрерывное отображение 1. Каждой точке 2. Если в пространстве А последовательность точек Поясним это несколькими примерами. А). Для упоминавшихся выше числовых множеств рациональных чисел
Рис. 60 в Б). Действительная функция
Рис. 61
Рис. 62 Если на оси координат Если график последовательности точек Такой важный момент, как формулировка условия непрерывности, на протяжении продолжительного периода являлся предметом многочисленных математических исследований. Но если говорить о непрерывном отображении попросту, то можно сказать, что точка, близкая к точке Два топологических пространства 1. 2. Как соответствие Способ выбора соответствия К примеру, поверхность тетраэдра и сферы гомеоморфны. Точки можно привести в соответствие, как показано на рис. 63. Совершенно ясно, что при этом взаимно однозначном соответствии точке, близкой к В топологии гомеоморфные фигуры (пространства) считаются равными. В связи с этой новой точкой зрения нет различия между сферой и поверхностью тетраэдра.
Рис. 63 Основной проблемой топологии является вопрос о том, какие фигуры между собой гомеоморфны, а какие — нет. В этом заключена проблема топологической классификации. Следуя идеям Клейна, высказанным в его Эрлангенской программе, можно сказать, что топология является той областью геометрии, которая исследует геометрические свойства фигур, инвариантные при топологических преобразованиях. Слова «геометрия резинки или резиновой пленки» выражают суть топологии, так как растяжение резиновой пленки без разрывов и есть как раз взаимно однозначное соответствие, при котором близкие точки переходят в близкие точки. Ну а раз это соответствие топологическое, то деформирующаяся пленка остается в том же классе топологически эквивалентных фигур.
|
1 |
Оглавление
|