§ 2. Топологический характер групп гомологий

Две структуры, приведенные на рис. 92, как точечные множества одинаковы. Мы сейчас не будем касаться трехмерной области внутренних точек, а рассмотрим лишь точки на поверхности этих фигур. К одной из фигур добавлена вершина. Как комплексы эти фигуры отличаются, поскольку состоят из неодинакового числа симплексов. Однако как множества точек они равны

Очевидно, что одно и то же множество точек может быть разбито в комплексы различными способами. Разбиение фигуры на составляющие ее симплексы называют триангуляцией, а саму фигуру, которая допускает триангуляцию, называют полиэдром. Группа гомологий полиэдра хотя и строится на базе линейных комбинаций симплексов конкретной триангуляции, однако устройство группы не зависит от вида данной триангуляции. Группа гомологий однозначно определяется самим полиэдром. Группы гомологий можно

Рис. 92

определить и для фигур, не являющихся полиэдрами, при помощи более абстрактных методов, но в данной работе мы этих вопросов не касаемся.

Для того чтобы установить топологическую инвариантность группы гомологий, необходимо доказать, что если два комплекса гомеоморфны, то их группы гомологий изоморфны. Это довольно сложно, тем не менее Александер привел общее доказательство этого факта. Из этой теоремы следует, что так как число Бетти определяется из группы гомологий, то оно также является топологическим инвариантом.

Группы гомологий для сферы, поверхности тора, а также для проективной плоскости, отражая их принципиально различные геометрические свойства, не изоморфны. Вообще, обнаружив для каких-нибудь двух фигур в результате вычислений, что их группы гомологий различны, мы сразу можем сделать вывод, что между рассматриваемыми фигурами не существует гомеоморфизма. С другой стороны, вообще говоря, группы гомологий часто могут совпадать и тогда, когда гомеоморфизм отсутствует. Поэтому нельзя делать окончательные выводы о полиэдрах только на основании совпадения их групп гомологий. Однако если рассматривать только поверхности, можно отметить одну особенность их групп гомологий. Если группы гомологий одинаковы, то мы имеем дело с гомеоморфными поверхностями. Мы уже говорили, что топологические виды поверхностей были определены в XIX веке. В то время группа гомологий еще не была определена, но уже было известно понятие так называемого числа связности. Впоследствии

были разработаны весьма специальные топологические методы. Были определены такие алгебраические структуры, как гомотопическая группа и уже знакомая нам группа гомологий. Раздел математики, занимающийся теорией алгебраических структур, которые инвариантны при гомеоморфизмах, выделился в особую область топологии — так называемую алгебраическую топологию. Исследование алгебраических свойств групп гомологий привело к созданию в рамках алгебры нового раздела — гомологической алгебры.