§ 2. Евклидова геометрия

В предыдущем параграфе говорилось, что в евклидовой геометрии взаимно совмещаемые посредством движения фигуры считаются равными и при рассмотрении мы их не различаем. Иначе говоря, в евклидовой геометрии именно при помощи движения фигуры сравниваются между собой, выясняется, одинаковы они или нет. Теорема о центральных углах, например, гласит, что в одной и той же окружности два центральных угла, стягивающих равные дуги, равны, т. е. представляют собой углы, которые можно совместить движением. Доказательство такой теоремы опирается на свойства движений.

В «Началах» Евклида прежде всего предполагается как само собой разумеющееся, что любой отрезок прямой имеет длину, а у каждого угла есть своя величина. Перемещение фигуры, при котором ни длина, ни какая-либо

связанная с длиной характеристика не меняется, является движением. Далее считается, что совпадающие при движении фигуры равны и вся фигура больше ее части. На основании этого стало возможным сравнение между собой различных фигур, что было совершенно естественно для геометрии как науки, выросшей из искусства землемерия.

Евклидово совмещение фигур — весьма абстрактное явление, поскольку предполагает существование некоего идеального движения. Ответ на вопрос, равны ли между собой те или иные фигуры, не простой. Так, например, о совмещаемости при помощи движения двух треугольников судят по тому, равны ли между собой соответственно их стороны и углы. Это не что иное, как известные признаки равенства треугольников.

Хотя Евклид сам и не прибегал к перемещениям слишком сложных фигур, но он, естественно, распространял понятие движения на все фигуры.

Совместим фигуру с фигурой при помощи движения (рис. 2). При этом точки фигуры перейдут в точки фигуры Две разные точки фигуры

Рис. 2.

перемещаются движением в разные точки фигуры Действительно, так как при движении длина отрезка которая больше нуля, равна длине отрезка

то

Мы видим, что движение устанавливает между точками фигур соответствие, при котором сохраняется расстояние между соответствующими точками! Точечное соответствие между фигурами записывают в виде следующей формулы:

Здесь под фигурой понимается состоящее из точек множество. При определении движения каждой точке фигуры ставится в соответствие вполне определенная точка фигуры обратно, каждой точке фигуры соответствует единственная точка фигуры такая, что Нетрудно видеть, что посредством движения между равными фигурами устанавливается взаимно однозначное соответствие. (Сначала я думал, что лучше было бы рассмотреть все это после следующего параграфа, который посвящен теории множеств, но, вероятно, и здесь все изложенное нетрудно понять, поскольку объяснение предельно просто.)

Таким образом с помощью движения устанавливается соответствие, при котором сохраняется расстояние Можно сказать иначе: движение есть соответствие, при котором не изменяется расстояние между каждыми двумя точками фигуры.

Итак, суть совмещения фигур в евклидовой геометрии сводится к следующему:

1. Существует взаимно однозначное соответствие между точками.

2. Отрезки прямых переходят при этом соответствии опять же в отрезки прямых.

3. Соответствие сохраняет расстояние.

Такие преобразования иначе называют конгруэнтными преобразованиями (мы к ним еще вернемся при объяснении Эрлангенской программы Ф. Клейна (1849—1925).

Итак, в евклидовой геометрии фигуры сравниваются при помощи движений плоскости и именно в евклидовой геометрии рассматривается вопрос о равенстве тех или иных фигур, а также условия, при которых эти фигуры являются или не являются равными. Довольно трудно сразу осознать, что исследование инвариантных относительно движений свойств фигур составляет содержание евклидовой геометрии.

В предыдущем параграфе говорилось, что в аффинной геометрии не рассматриваются ни расстояние, ни величина угла, ни некоторые другие связанные с ними евклидовы характеристики. И это «пренебрежение» расстоянием и ему подобными величинами является отличительной чертой аффинной геометрии. Подробнее мы расскажем о ней в специальной главе. Однако уже сейчас можно отметить, что если из трех условий движений отбросить третье, то мы получим класс как раз тех преобразований (удовлетворяющих 1-му и 2-му условиям), которые рассматриваются в аффинной геометрии. Эти преобразования называются аффинными. Поскольку аффинная эквивалентность фигур устанавливается при

помощи аффинных преобразований, то в этом виде геометрии при сравнении фигур в конечном счете появляется значительно больше эквивалентных между собой фигур, нежели в евклидовой геометрии. Как отмечалось выше, все треугольники являются аффинно эквивалентными фигурами. Аффинную геометрию, видимо, нельзя считать столь же непосредственным отражением реально существующего мира, как евклидову геометрию. Она в большей степени представляет собой математическую теорию.