Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 2. Евклидова геометрияВ предыдущем параграфе говорилось, что в евклидовой геометрии взаимно совмещаемые посредством движения фигуры считаются равными и при рассмотрении мы их не различаем. Иначе говоря, в евклидовой геометрии именно при помощи движения фигуры сравниваются между собой, выясняется, одинаковы они или нет. Теорема о центральных углах, например, гласит, что в одной и той же окружности два центральных угла, стягивающих равные дуги, равны, т. е. представляют собой углы, которые можно совместить движением. Доказательство такой теоремы опирается на свойства движений. В «Началах» Евклида прежде всего предполагается как само собой разумеющееся, что любой отрезок прямой имеет длину, а у каждого угла есть своя величина. Перемещение фигуры, при котором ни длина, ни какая-либо связанная с длиной характеристика не меняется, является движением. Далее считается, что совпадающие при движении фигуры равны и вся фигура больше ее части. На основании этого стало возможным сравнение между собой различных фигур, что было совершенно естественно для геометрии как науки, выросшей из искусства землемерия. Евклидово совмещение фигур — весьма абстрактное явление, поскольку предполагает существование некоего идеального движения. Ответ на вопрос, равны ли между собой те или иные фигуры, не простой. Так, например, о совмещаемости при помощи движения двух треугольников судят по тому, равны ли между собой соответственно их стороны и углы. Это не что иное, как известные признаки равенства треугольников. Хотя Евклид сам и не прибегал к перемещениям слишком сложных фигур, но он, естественно, распространял понятие движения на все фигуры. Совместим фигуру
Рис. 2. перемещаются движением
то Мы видим, что движение
Здесь под фигурой понимается состоящее из точек множество. При определении движения Таким образом с помощью движения устанавливается соответствие, при котором сохраняется расстояние Итак, суть совмещения фигур в евклидовой геометрии сводится к следующему: 1. Существует взаимно однозначное соответствие между точками. 2. Отрезки прямых переходят при этом соответствии опять же в отрезки прямых. 3. Соответствие сохраняет расстояние. Такие преобразования иначе называют конгруэнтными преобразованиями (мы к ним еще вернемся при объяснении Эрлангенской программы Ф. Клейна (1849—1925). Итак, в евклидовой геометрии фигуры сравниваются при помощи движений плоскости и именно в евклидовой геометрии рассматривается вопрос о равенстве тех или иных фигур, а также условия, при которых эти фигуры являются или не являются равными. Довольно трудно сразу осознать, что исследование инвариантных относительно движений свойств фигур составляет содержание евклидовой геометрии. В предыдущем параграфе говорилось, что в аффинной геометрии не рассматриваются ни расстояние, ни величина угла, ни некоторые другие связанные с ними евклидовы характеристики. И это «пренебрежение» расстоянием и ему подобными величинами является отличительной чертой аффинной геометрии. Подробнее мы расскажем о ней в специальной главе. Однако уже сейчас можно отметить, что если из трех условий движений отбросить третье, то мы получим класс как раз тех преобразований (удовлетворяющих 1-му и 2-му условиям), которые рассматриваются в аффинной геометрии. Эти преобразования называются аффинными. Поскольку аффинная эквивалентность фигур устанавливается при помощи аффинных преобразований, то в этом виде геометрии при сравнении фигур в конечном счете появляется значительно больше эквивалентных между собой фигур, нежели в евклидовой геометрии. Как отмечалось выше, все треугольники являются аффинно эквивалентными фигурами. Аффинную геометрию, видимо, нельзя считать столь же непосредственным отражением реально существующего мира, как евклидову геометрию. Она в большей степени представляет собой математическую теорию.
|
1 |
Оглавление
|