§ 3. Множества

Для более глубокого изучения таких понятий, как «соответствие», «преобразование» (в частности, движение), необходимо сначала усвоить, что такое множество. Я думаю, что читателям известно, что множество — одно из основных понятий в математике. Не случайно многие математические спецкурсы начинаются со знакомства с теорией множеств.

Важность понятия множества, особенностью которого является, в частности, то, что оно не требует вычислений, осознается в процессе размышления над логическими основами математики, над ее структурой. Создавая теорию множеств, Г. Кантор (1845—1918) понимал, какое важное значение для математики имеет развитие этой общей идеи. Впоследствии значение теории множеств было оценено и другими математиками. Я думаю, что и мои читатели в некоторой степени смогут представить себе, какое значение имеет понятие множества.

Каждая фигура является совокупностью точек, или, иначе, множеством точек. Уже во времена Евклида, говоря о точке на прямой или же, к примеру, о точке пересечения двух прямых, интуитивно рассматривали плоскость как множество точек.

В начальный период развития теории множеств различали такие множества, как множество прямых (в качестве элементов последнего берутся прямые линии) и, положим, множество функций непрерывных на единичном отрезке [0,1]. Позднее теория множеств стала применяться к любым множествам, независимо от того, из чего они состоят: из прямых, функций и т. д. Хотя и до появления теории множеств случалось, что собирали воедино те или иные функции, прямые и т. д., но только впоследствии стали изучать общие свойства множеств независимо от природы составляющих их элементов.

Если говорить о свойствах фигур, приведенных нарис. 1, то можно отметить, что с точки зрения теории множеств все они равнозначны: и прямая, и отрезок прямой, и окружность в конце концов одинаковы. Теория множеств, являясь основой как геометрии, так и алгебры, не ограничена рамками каждой из них. С другой стороны, я думаю, возникают сомнения: можно ли прийти хоть к сколько-нибудь содержательным выводам, теоремам, если столь разные фигуры, как приведенные на рис. 1, с точки зрения теории множеств не различаются. Ниже мы постараемся несколько рассеять эти сомнения.

В основе теории множеств лежит понятие взаимно однозначного соответствия. Выясним, что это такое.

Рассмотрим сначала два множества, каждое из которых состоит из пяти чисел, первое — из целых, второе — из дробных:

Между элементами, составляющими эти два множества, можно установить следующее соответствие:

Каждому элементу из множества соответствует единственный элемент из множества обратно, каждому элементу из соответствует один и только один элемент из Так между элементами обоих множеств устанавливается взаимно однозначное соответствие. Считая, что это соответствие направлено от можно записать его в виде

Например, число как элемент из соответствует при числу 3— элементу множества . С другой стороны, если в взять элемент то единственным соответствующим ему значением из будет 3. Иначе, каждому элементу из 72 соответствует единственный элемент из и мы получаем обратное соответствие. Символически это записывают следующим образом:

Отображение могло быть определено только потому, что отображение удовлетворяет условию взаимной однозначности (т. е. одному элементу множества соответствует один и только один элемент из другого множества и разным элементам — разные).

Пусть множество например, состоит из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, а множество соответствие определено следующим образом: . В этом случае двум разным элементам 5 и 6 из соответствует один и тот же элемент из и значение определяется не однозначно; обратное соответствие тем самым невозможно.

Следует сказать, что соответствия между множествами

не ограничиваются вышеприведенным Например, соответствие при котором , также является взаимно однозначным соответствием. Другими словами, взаимно однозначное соответствие между двумя множествами не единственно.

В вышеприведенном примере взяты множества, состоящие из целых и дробных чисел, но результат будет одинаков, если в качестве элементов множеств взяты точки на прямой, отстоящие от исходной точки на расстояние 1, 2, 3, 4, 5 и соответственно

Если взять другие какие-нибудь пять точек, то и тогда все будет обстоять так же. Например, если взять множество, состоящее из пяти вершин пятиугольника то

соответствие опять-таки будет взаимно однозначным соответствием. Вообще любое множество, образо: ванное из пяти элементов, может быть приведено во взаимно однозначное соответствие со множеством Вопрос лишь в количестве элементов множества в данном случае в том, что их тоже пять.

Считая вообще любые два множества, которые можно привести во взаимно однозначное соответствие, эквивалентными, теория мног жеств не принимает во внимание природу элементов этих множеств.

Как сказано выше, множество, которое состоит из конечного числа, например элементов, является множеством, эквивалентным множеству

Таким образом, конечные множества, т. е. те, что состоят из конечного числа элементов, с теоретико-множественной точки зрения различаются только по числу элементов. Множества, состоящие из одинакового числа элементов, сколько бы их ни было, эквивалентны между собой.

Однако в случае бесконечных множеств дело обстоит несколько сложнее. Но и при этом главный признак сравнения или различия бесконечных множеств состоит в том, чтобы выяснить, имеется ли между ними взаимно однозначное соответствие или нет. Например, между точками треугольника и окружности такое соответствие, как видно на рис. 3, существует.

Для этого из общей внутренней точки О проведем радиус; он пересечет треугольник (имеется в виду его граница) и окружность в единственных точках Соответствие

устанавливается по формуле Так как радиус можно провести через каждую точку треугольника и каждую точку окружности, то соответствие будет взаимно однозначным соответствием между границей треугольника и окружностью.

Рис. 3.

Отсюда вытекает также существование обратного соответствие

Если фигуры расположены так, что не имеют общей внутренней точки (рис. 4), то параллельным переносом на вектор мы переводим треугольник в уже знакомое нам положение .

Рис. 4

Параллельный перенос является конгруэнтным преобразованием, т. е. заведомо взаимно однозначным соответствием. Таким образом, имеем:

взаимно взаимно однозначно однозначно

Ясно, что между фигурами в итоге устанавливается взаимно однозначное соответствие, задающееся формулой Таким образом, согласно теории множеств треугольник и окружность эквивалентны.

Также эквивалентны между собой множество точек прямой и множество точек окружности. Построение взаимно однозначного соответствия между ними в этом случае несколько труднее.

Далее, с точки зрения теории множеств отнюдь не требуется, чтобы точки были расположены в линейном или еще в каком-то порядке. Просто считается, что если между точками двух фигур можно установить взаимно однозначное соответствие, то такие фигуры количественно эквивалентны или равномощны. Кантор, рассматривая равномощные бесконечные множества, по аналогии с конечными приписывал им одинаковую количественную характеристику. Но поскольку бесконечных чисел не существует, он назвал такую характеристику кардинальным числом, желая подчеркнуть тем самым, что мы имеем дело с необычными числами. Говоря иначе, одинаковость кардинальных чисел двух множеств

и наличие между ними взаимно однозначного соответствия выражают одно и то же явление.

С другой стороны, если бы все бесконечные множества были равномощны, то введение кардинальных чисел не имело бы никакого значения. Главное достижение Кантора как раз в том и состоит, что он показал: среди бесконечных множеств непременно встречаются такие, между которыми нет взаимно однозначного соответствия, следовательно, существуют различные кардинальные числа.

Возьмем в качестве примера множество натуральных чисел

и множество всех вообще действительных чисел — рациональных и иррациональных. Так вот, между множествами нельзя установить, даже игнорируя при этом их расположение в порядке возрастания величины, ни одного взаимно однозначного соответствия. В геометрическом отношении это означает, что множество всех точек числовой оси и множество точек с целыми положительными координатами количественно неэквивалентны. Доказательство этого факта методом от противного состоит в том, что предполагается вначале, что взаимно однозначное соответствие между ними имеется, и затем из этого предположения косвенными приемами приходят к противоречию. Это доказательство можно найти в любой книге по теории множеств. Кардинальное число множества всех натуральных чисел обозначают через а соответствующее число для множества действительных чисел — через с. Из вышесказанного следует, что Множество мощности называется

счетным множеством; оно среди бесконечных множеств является наиболее простым.

Кардинальное число множества точек отрезка прямой также есть с, т. е. цежду ним и множеством всех точек прямой можно установить взаимно однозначное соответствие. Кантор также доказал, что такое соответствие существует и между множеством точек обычной плоской фигуры и множеством всех точек отрезка. С другой стороны, он показал, что кардинальных чисел бесконечно много, т. е. с точки зрения теории множеств существует неограниченно много количественно неэквивалентных между собой бесконечных множеств. Тем не менее фигуры, изображенные на рис. 5, как множества точек эквивалентны. Более того, множество всех точек евклидовой плоскости имеет то же кардинальное число с, что и множество всех точек одной-единственной прямой. Но помимо точечных множеств, на евклидовой плоскости существует бесконечно много множеств элементов совершенно другой природы. Например, кардинальное число множества всех, а не только непрерывных функций, определенных на отрезке, не равно кардинальному числу с. Доказательство этого несколько затруднительно, но то, что имеется много разных бесконечных множеств, — важное математическое достижение.

Что мы способны осознать явно, так это конечность.

Рис. 5.

Но между тем самые замечательные достижения в теории множеств относятся к бесконечным множествам, когда независимо от характера элементов, из которых состоят множества, выявляются принципиальные различия между ними только из-за возможности или невозможности установления взаимно однозначного соответствия.

Как отмечалось выше, в теории множеств другие различия между фигурами на плоскости не признаются. Так, множества точек отрезка, или треугольника, или четырехугольника все равно в конце концов оказываются количественно эквивалентными. Поэтому теория множеств, можно сказать, не имеет особого значения в геометрии, цель которой изучение свойств фигур.

Движения в евклидовой геометрии удовлетворяют, как мы говорили выше, трем условиям, и первое из них — взаимно однозначное соответствие. Следовательно, две равные фигуры разумеется, с точки зрения теории множеств, также являются одинаковыми (равномощными) фигурами. Однако, обратно, если фигуры являются одинаковыми с точки зрения теории множеств, то в евклидовой геометрии они не обязательно связаны движением. Причина этого в двух других условиях движения — 2 и 3.

В теории множеств совершенно не учитывается ни прямолинейность фигур, ни длины отрезков, в то время как в евклидовой геометрии эти условия — условия 2, 3 — очень важны. Иначе говоря, геометрия Евклида наряду с общей идеей плоского точечного множества обращает внимание также на его линейную и метрическую структуры.

Совокупность особенностей, которые характерны для прямолинейных множеств точек, составляет линейную структуру, а задание длин прямолинейных отрезков в свою очередь порождает метрическую структуру. Эти две структуры, если рассматривать их в совокупности, составляют в математике структуру евклидовой геометрии.

Упоминая об аффинной геометрии, мы отмечали, что аффинные преобразования, вообще говоря, третьему (метрическому) условию конгруэнтных преобразований не удовлетворяют. Следовательно, аффинная геометрия представляет собой ту геометрию, которая в мир теории множеств вводит лишь линейную структуру.

Эти положения малопонятны без детального изучения связей между этими тремя областями. Точно так же нельзя понять суть различных геометрий без понимания конкретной, как линейной, так и метрической, структуры.