§ 2. О содержании термина «геометрия»

Каково же содержание той области математики, которую называют геометрией? В наше время это, разумеется, никак не землемерие. Невозможно дать краткое определе ние интенсивно развивающимся сейчас областям математики, но вполне реально дать пред ставление об изменениях, происшедших в геометрии, начиная с греческой эпохи и до наших дней.

В греческую эпоху были накоплены и обобщены многочисленные знания, полученные в процессе развития землемерного искусства. Именно в Древней Греции появились знаменитые «Начала» Евклида (Евклид жил приблизительно две тысячи двести лет назад), где отдельные осмысленные факты были объединены в общую логическую систему.

Безусловно, Евклид был выдающейся личностью. Помимо «Начал» у этого оригинального мыслителя имеется много других трудов, но все же самым крупным вкладом в математику были, несомненно, его «Начала». Впрочем, и до Евклида занимались подбором и обобщением фактов. Наиболее ранним сочинением такого рода считается книга Гиппократа Хиосского (VI в. до н. э.). Однако основы теории Евклида по своему содержанию, по глубине мысли заметно отличались, и книга Гиппократа, как, впрочем, труды других мыслителей прошлого, не шла ни в какое сравнение с «Началами». Как писал Прокл (V в.), Евклид многое взял от Евдокса (408- 350 гг. до н. э.; ученик Платона), многое усовершенствовал в трудах Теэтета (415-369 гг. до н. э.; группа Платона) и затем, проанализировав труды своих предшественников, возвысился до создания невиданной по тем временам точно обоснованной теории.

Теория Евклида удивляет и сложным построением, и четкостью мысли, и живостью изложения. Это, несомненно, первый образец построения научной системы. Впоследствии теория Евклида оказала большое влияние на формирование науки в Греции, став фундаментом развития таких областей знания, как математика, философия и другие, тем

культурным наследием, которое считается гордостью греческой нации. «Начала» Евклида не потеряли своей ценности и поныне, несмотря на то, что со дня их появления прошло более 2000 лет.

В последнее время нередко можно услышать, что изучение евклидовой геометрии необязательно. При этом имеется в виду не только евклидова геометрия как таковая, в рамках созданной Евклидом системы, но и евклидова геометрия в математически обоснованном изложении Д. Гильберта (1862—1943). Но это не означает, что мнение о евклидовой геометрии как «плохой» геометрии широко распространено. Мы зраем, что именно от евклидовой геометрии человечество получило дедуктивный метод — общий научный метод. Польза от изучения теории Евклида в процессе математического образования несомненна.

Тем не менее мы не ставили перед собой задачу обсуждать евклидовы «Начала». Наша цель — выяснение содержания геометрии. Вообще говоря, основным объектом математики является внешний мир, непосредственное восприятие и отражение его. Евклидова геометрия также возникла из стремления понять и объяснить окружающий человека мир. Она, как известно, развилась из искусства топографических измерений в Египте.

Египтяне, например Пифагор (ок. 600 - 500 гг. до н. э.) , использовали, в частности, свойства прямоугольных треугольников (например, треугольника со сторонами 3, 4, 5).

На самом деле эти факты были известны еще за 2400 лет до Пифагора и соответственно за 2700 лет до Евклида. Что касается параллельных прямых, то сведения о них, как, впрочем, и о некоторых других интересных геометрических фигурах, относятся к четвертому тысячелетию до н. э.

Таким образом, уже в то далекое время люди владели различными познаниями в области геометрии, но они не были в состоянии свести их в единую всеобъемлющую систему. Фалес (примерно 600 г. до н. э.), путешествуя по Египту, познакомился с местными методами измерений и, вернувшись в Грецию, рассказал о них своим соотечественникам. У него были и собственные исследования: в современных школьных курсах математики имеется теорема Фалеса. Однако только Пифагор, дав доказательство своей теоремы, тем самым в интеллектуальном смысле отделил геометрию от искусства измерения. Известная теорема Пифагора о том, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, как мы знаем, является одной из основных теорем в системе обязательного образования. К возникшей впоследствии школе Пифагора принадлежали многие ученые, среди которых выделялся уже упоминавшийся нами Гиппократ Хиосский. Именно он составил систематическое изложение основ геометрии, которое можно считать одним из первых подлинно научных сочинений.

Затем наступила эпоха многочисленных геометрических исследований знаменитой платоновской Академии. Платон (427-347 гг. до н. э.) наряду с философией серьезное внимание уделял геометрии. Не ограничиваясь

только собственными исследованиями, он создал целую школу своих учеников и последователей, оказавшую большое влияние также и на Евклида.

Евклид при написании «Начал» не использовал слова «геометрия», но оно, как известно, в то время применялось довольно широко. Примечателен следующий разговор Евклида с царем Птолемеем. Когда царь спросил: «А нет ли пути более быстрого, чем «Начала»?» - Евклид ответил: «В геометрии нет царских дорог». Прокл, о котором мы уже упоминали, говорил: «Евклид создал основы геометрии».

Как нам представляется, теоретическое значение «Начал» Евклида заключается не только в том, что в них наряду с основами геометрии рассматриваются другие области античной математики. В «Началах» мы видим, как из простых определений, аксиом и постулатов выводятся утверждения, теоремы, которые составляют цельную научную систему.

В эллинскую эпоху геометрия наравне с философией была областью чистого знания, но в то же время она, по-моему, могла быть отнесена и к естественным наукам. Хотя Евклид и заложил ее теоретический фундамент, он, надо полагать, рассматривал ее и как науку, объясняющую природу Вселенной. Опираясь на практический опыт, он путем систематизации и обобщений построил научную систему.

Из определений Евклида приведем следующие:

1. Точка есть то, что не имеет частей.

2. Диния же — длина без ширины.

3. Границы линии суть точки.

4. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

Эти понятия, лежащие в основе дальнейших научных выводов, представляют собой некие абстракции и являются теми единицами, которые можно называть элементами нашей Вселенной. Они являются фундаментальными и в рассуждениях Евклида. Поэтому более поздняя критика евклидовых определений, состоявшая в том, что эти определения объявлялись не имеющими смысла, не совсем справедлива. В действительности обоснование Евклидом своей теории — это образец такого научного подхода, которого следует придерживаться при создании любой дедуктивной системы.

Ученые Древней Греции, не говоря уже о Платоне, как в философии, так и в геометрии развили рациональную сторону духовной культуры, продемонстрировав при этом единство науки. Древнегреческим философам был известен афоризм: «Не знающий геометрии не допускается», который, как говорят, принадлежал знаменитому Платону, повесившему его на дверях своей школы.

На протяжении многих веков образ мышления Евклида, его стиль являлись для всех ученых примером научного мышления, по словам Паскаля (1623—1662), образцом «геометрического духа».

Если вспомнить здесь о японских математиках, то с сожалением приходится признать, что они не обладали подобным научным «духом». В своих сочинениях они приводили замысловатые чертежи, делая выводы на полуинтуитивном уровне, не предлагая строгих доказательств. Таким образом, можно сказать,

что в японской математике геометрии в научном смысле не было. Даже в начальный период эпохи Мэйдзи большинство математиков японской школы, видимо, не постигли значения геометрических выводов, которые можно сделать из простых геометрических построений. Упоминавшиеся ранее Нагахидэ Такано и Гокэн Утида провозглашали, что нужно сосредоточить внимание лишь в направлении математической логики как методической основы науки. Утида, известный японский математик, по голландским источникам изучил западную математику, и в свое время он был, пожалуй, единственным человеком в Японии, обладавшим математической эрудицией.

Ближе к нашему времени параллельно с развитием других наук развивалась и математика, в том числе алгебра и аналитическая геометрия. Геометрия, в сути своей оставаясь неизменной, расширяла свои методы и предмет исследований. Наряду с евклидовой развивались проективная геометрия, неевклидовы геометрии. Так, в неевклидовых геометриях сумма углов треугольника не равна сумме двух прямых углов. Почти уже в наши дни Гильберт чисто математически доказал непротиворечивость аксиом евклидовой геометрии.

Гильберту принадлежит широко известная теперь мысль о том, что «геометрия конструируется из столов, стульев и пивных кружек». Так, евклидова геометрия, исходя из наглядных представлений реально существующего мира и затем абстрагируясь от последнего, в результате превратилась в науку, ведущую абстрактные и в то же время конкретные исследования. В наше время стремительно развивается новое геометрическое направление — топология, которая исследует множества точек, наделенные так называемой топологической структурой. Топология представляет собой ту область, методы которой имеют приложение во всех разделах математики. Современная геометрия, несмотря на свой абстрактный характер, имеет дело с геометрическими фигурами и использует в качестве инструмента исследования различные построения.