§ 2. Кривые линии

В предыдущих главах отмечалось, что в XIX веке был полностью исследован вопрос о формах кривых поверхностей в том смысле, что были получены все типы поверхностей, не гомеоморфных между собой. Например, сферическая поверхность не гомеоморфна поверхности тора. Как это доказать? Заметим, что вопрос о существовании соответствия, удовлетворяющего лишь условию взаимной однозначности, целиком лежит в рамках общей теории множеств. И хотя взаимная однозначность непременно сопутствует взаимной непрерывности, однако последнее условие никак не вытекает из первого. Как было отмечено Гауссом и Мёбиусом, между замкнутыми кривыми линиями на сфере и на поверхности тора имеются удивительные характерные различия.

Рис. 64

Замкнутая кривая линия с на сферической поверхности разбивает ее на две «части» , а замкнутая линия с на торе напротив, не делит эту поверхность на две части, оставляя ее в виде одного связного куска (см. рис. 64). Говоря здесь о связности, мы имеем в виду, что какие бы две точки ни взять, их можно соединить линией, которая не пересечется с кривой с. Из этого различия следует, что гомеоморфизм в данном случае, т. е. между поверхностями сферы и тора, не имеет места. Вообще говоря, вопрос о наличии связности или отсутствии таковой по сути своей является топологическим, т. е. не меняющим своего характера при топологическом преобразовании. Топологическая инвариантность свойства связности понятна из интуитивных соображений. Сформулируем ее в виде теоремы.

Теорема 1. Пусть топологические пространства гомеоморфны, т. е. существует топологическое отображение Если некоторая замкнутая линия с в пространстве А разбивает А на две части, то замкнутая кривая линия в пространстве В также разбивает В на две части. (Доказательство можно вывести из теоремы 1 в начале главы 7.)

Теперь можно вспомнить о том, что выше, когда говорили о листе Мёбиуса и о проективной плоскости, мы отмечали, что они являются неориентируемыми поверхностями. Это свойство поверхности — быть ориентируемой или,

напротив, неориентируемой — также относится к числу топологических инвариантов.

Теорема 2. Если две замкнутые кривые поверхности гомеоморфны и одна из них, скажем является неориентируемой поверхностью, то и другая поверхность также является неориентируемой.

Из этой теоремы можно сразу получить, что сферическая поверхность и проективная плоскость негомеоморфны.

Таким образом, чтобы выяснить вопрос о том, являются ли какие-либо две геометрические фигуры гомеоморфными или нет, вовсе не обязательно рассматривать неограниченное число всевозможных вариантов точечных соответствий и выискивать среди них взаимно непрерывные.

Хотя мы весьма легко употребляем здесь слова «кривая поверхность», «кривая линия», следует, однако, отметить, что с математической тачки зрения они требуют четкого определения. Строгое определение кривой линии было дано Жорданом в его «Курсе анализа». Впоследствии свойства кривой линии изучались в многочисленных работах. Мы не будем касаться подробностей этих теоретических исследований, а лишь дадим наиболее часто встречающееся определение кривой линии.

Возьмем на числовой оси отрезок, т. е. множество всех чисел, расположенных между двумя какими-то числами, для определенности 0 и 1. Если обозначить этот отрезок через то его образ при любом непрерывном отображении называется кривой линией. Благодаря непрерывности две близкие точки отрезка l переходят в две близкие точки кривой Обозначим образы

концов отрезка через Говорят, что точки связаны криволинейным путем. Если то мы получим замкнутую кривую линию.

Рис. 65

Приведенное определение кривой линии является чрезвычайно широким: ему удовлетворяют и такие геометрические фигуры, которые с общепринятой точки зрения не считаются линиями. Например, существует кривая линия, которой можно заполнить весь квадрат. Ее называют кривой Пеано (1858—1932). Выделим более узкий класс кривых линий, так называемых кривых Жордана. Кривая Жордана — это образ отрезка при взаимно однозначном и взаимно непрерывном отображении. Другими словами, кривая Жордана — это топологический образ отрезка. Замкнутая кривая линия Жордана, или, как еще говорят, простая замкнутая кривая, — это фигура, гомеоморфная окружности.

Любая окружность на евклидовой плоскости делит ее на две части — внутреннюю и внешнюю. Если взять две точки внутри

окружности и вне ее, то соединяющий их путь (кривая линия) обязательно по крайней мере в одной точке пересечется с окружностью. Это основано на положении о непрерывности действительных чисел, которое является фундаментальным принципом таких разделов математики, как геометрия, анализ и др.

Рис. 66

Жордан установил, что это свойство верно не только для окружности, но и вообще для любой замкнутой кривой Жордана.

Теорема Жордана. Замкнутая кривая Жордана на плоскости делит плоскость на две части — внутреннюю и внешнюю с общей границей — данной кривой.

Рис. 67

Доказательство этой теоремы дано в курсе анализа Жордана. Поначалу кажется, что фактическая сторона теоремы Жордана очевидна. В самом деле, рассмотрим произвольную замкнутую жорданову кривую, например, такую, как на рис. 68, и мы видим, что это чрезвычайно просто, ясно... Нет, кажется, эта теорема нуждается в доказательстве. Мы здесь обращаем внимание читателя на то, что теорема безусловно нуждается в доказательстве, более того, это доказательство чрезвычайно сложно.

Рис. 68

Имеется многб работ, в которых детально рассматриваются свойства замкнутых жордановых кривых. Например, в теореме Шенфлиса (1853—1928) рассматриваются на плоскости окружность С, замкнутая жорданова кривая I и топологическое отображение Теорема утверждает, что это отображение может быть расширено до

топологического преобразования всей плоскости Говоря другими словами, существует топологическое преобразование которое на подмножестве С совпадает с исходным отображением

Разумеется, интересно знать, какие свойства замкнутых жордановых кривых можно распространить на случай поверхностей. Например, рассмотрим сферическую поверхность в пространстве и гомеоморфную ей поверхность Можно доказать, что поверхность так же как и сфера, делит пространство на две части — внутреннюю и внешнюю. Однако теорема, аналогичная теореме Шенфлиса, в случае поверхностей не верна. Это можно установить при помощи аналитических средств.

В порядке отступления от темы можно сказать, что теорема Жордана, являющаяся одной из основных теорем математики, довольно часто находит приложения. Однако в университетских курсах доказательство теоремы Жордана обычно опускается. Изложение ее весьма сложного доказательства требует значительного времени; тем, кто интересуется им, советуем обратиться к соответствующим пособиям по математике.

В качестве примера теоремы Жордана можно привести задачу о проведении коммуникаций для газа, электричества и воды.

Расположенные на плоскости (на земной поверхности) три дома необходимо соединить с тремя центрами снабжения их газом, электричеством и водой так, чтобы коммуникации не пересекались. Как бы три дома ни были расположены, проведение на плоскости коммуникаций указанным образом невозможно.

Этот факт, т. е. что соединение неизбежно приводит к пересечению коммуникационных линий, следует из теоремы Жордана.

В трехмерном пространстве указанное соединение трёх домов с тремя произвольными точками, как хорошо известно из опыта, возможно. Указанная конфигурация связей представляет собой вложенную в пространство конструкцию, составленную из отрезков.

Рис. 69

В топологии существует задача о вложении, частным случаем которой является задача о вложении систем одномерных отрезков в евклидово пространство. Имеется теорема, которая утверждает, что конечная система, состоящая из точек и связывающих их одномерных отрезков, сколь бы сложным строением она ни обладала, всегда может быть вложена в пространство т. е. размещена без дополнительных пересечений отрезков. Таким образом, это пример того, что может быть реализовано в пространстве и не может быть осуществлено на плоской поверхности.