Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 2. Кривые линииВ предыдущих главах отмечалось, что в XIX веке был полностью исследован вопрос о формах кривых поверхностей в том смысле, что были получены все типы поверхностей, не гомеоморфных между собой. Например, сферическая поверхность не гомеоморфна поверхности тора. Как это доказать? Заметим, что вопрос о существовании соответствия, удовлетворяющего лишь условию взаимной однозначности, целиком лежит в рамках общей теории множеств. И хотя взаимная однозначность непременно сопутствует взаимной непрерывности, однако последнее условие никак не вытекает из первого. Как было отмечено Гауссом и Мёбиусом, между замкнутыми кривыми линиями на сфере и на поверхности тора имеются удивительные характерные различия.
Рис. 64 Замкнутая кривая линия с на сферической поверхности Теорема 1. Пусть топологические пространства Теперь можно вспомнить о том, что выше, когда говорили о листе Мёбиуса и о проективной плоскости, мы отмечали, что они являются неориентируемыми поверхностями. Это свойство поверхности — быть ориентируемой или, напротив, неориентируемой — также относится к числу топологических инвариантов. Теорема 2. Если две замкнутые кривые поверхности Из этой теоремы можно сразу получить, что сферическая поверхность и проективная плоскость негомеоморфны. Таким образом, чтобы выяснить вопрос о том, являются ли какие-либо две геометрические фигуры гомеоморфными или нет, вовсе не обязательно рассматривать неограниченное число всевозможных вариантов точечных соответствий и выискивать среди них взаимно непрерывные. Хотя мы весьма легко употребляем здесь слова «кривая поверхность», «кривая линия», следует, однако, отметить, что с математической тачки зрения они требуют четкого определения. Строгое определение кривой линии было дано Жорданом в его «Курсе анализа». Впоследствии свойства кривой линии изучались в многочисленных работах. Мы не будем касаться подробностей этих теоретических исследований, а лишь дадим наиболее часто встречающееся определение кривой линии. Возьмем на числовой оси отрезок, т. е. множество всех чисел, расположенных между двумя какими-то числами, для определенности 0 и 1. Если обозначить этот отрезок через концов отрезка через
Рис. 65 Приведенное определение кривой линии является чрезвычайно широким: ему удовлетворяют и такие геометрические фигуры, которые с общепринятой точки зрения не считаются линиями. Например, существует кривая линия, которой можно заполнить весь квадрат. Ее называют кривой Пеано (1858—1932). Выделим более узкий класс кривых линий, так называемых кривых Жордана. Кривая Жордана — это образ отрезка Любая окружность на евклидовой плоскости окружности и
Рис. 66 Жордан установил, что это свойство верно не только для окружности, но и вообще для любой замкнутой кривой Жордана. Теорема Жордана. Замкнутая кривая Жордана на плоскости делит плоскость на две части — внутреннюю и внешнюю с общей границей — данной кривой.
Рис. 67 Доказательство этой теоремы дано в курсе анализа Жордана. Поначалу кажется, что фактическая сторона теоремы Жордана очевидна. В самом деле, рассмотрим произвольную замкнутую жорданову кривую, например, такую, как на рис. 68, и мы видим, что это чрезвычайно просто, ясно... Нет, кажется, эта теорема нуждается в доказательстве. Мы здесь обращаем внимание читателя на то, что теорема безусловно нуждается в доказательстве, более того, это доказательство чрезвычайно сложно.
Рис. 68 Имеется многб работ, в которых детально рассматриваются свойства замкнутых жордановых кривых. Например, в теореме Шенфлиса (1853—1928) рассматриваются на плоскости топологического преобразования Разумеется, интересно знать, какие свойства замкнутых жордановых кривых можно распространить на случай поверхностей. Например, рассмотрим сферическую поверхность В порядке отступления от темы можно сказать, что теорема Жордана, являющаяся одной из основных теорем математики, довольно часто находит приложения. Однако в университетских курсах доказательство теоремы Жордана обычно опускается. Изложение ее весьма сложного доказательства требует значительного времени; тем, кто интересуется им, советуем обратиться к соответствующим пособиям по математике. В качестве примера теоремы Жордана можно привести задачу о проведении коммуникаций для газа, электричества и воды. Расположенные на плоскости (на земной поверхности) три дома Этот факт, т. е. что соединение неизбежно приводит к пересечению коммуникационных линий, следует из теоремы Жордана. В трехмерном пространстве
Рис. 69 В топологии существует задача о вложении, частным случаем которой является задача о вложении систем одномерных отрезков в евклидово пространство. Имеется теорема, которая утверждает, что конечная система, состоящая из точек и связывающих их одномерных отрезков, сколь бы сложным строением она ни обладала, всегда может быть вложена в пространство
|
1 |
Оглавление
|