Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 3. Кривые поверхностиГоловной убор (берет, шляпа) представляет собой кривую поверхность, имеющую край. Поверхность строительной колонны, неограниченно продолженной, не имеет края. Евклидова плоскость Замкнутая поверхность — это топологическое подпространство Смысл первого условия состоит в том, что исключаются из рассмотрения бесконечно продолжаемые поверхности. Здесь, конечно, следовало бы использовать топологический термин компактность, и условие ограниченности в определении мы употребили для наглядности.
Рис. 70 Второе условие отражает основное свойство присущее любой кривой поверхности. Рассмотрим множество точек плоскости Топологический образ внутренней части круга называют открытым некоторая окрестность
Рис. 71 Ясно, в частности, что множество точек, достаточно близких к точке Рассмотрим топологическое устройство проективной плоскости
Рис. 72 собой поверхность, которая получается из сферы отождествлением каждой пары ее антиподальных точек. Поэтому если взять точки верхней полусферы, то необходимость в точках нижней полусферы отпадает. Действительно, поскольку пара антиподальных точек
Рис. 73
Рис. 74 Поэтому вся проективная плоскость может быть представлена только полусферой («котелком»), у которой антиподальные точки экваториальной окружности необходимо отождествить: Спроектируем верхнюю полусферу, как это показано на рис. 74, на круг. Очевидно, что точечное соответствие является замкнутой жордановой кривой в проективной плоскости. Проективная плоскость удовлетворяет второму условию замкнутой! поверхности. Действительно, если два полудиска в окрестности одной точки Объяснение того, что в данном случае мы, имеем дело с неориентируемой поверхностью, отняло бы много времени, поэтому мы ограничимся рассмотрением конкретного примера (рис. 76). Если при помощи стрелки задать ориентацию полудиска в окрестности точки Если на проективной плоскости (рис. 76)
Рис. 75
Рис. 76 взять во внимание только область, ограниченную пунктирными линиями, то легко понять, что это «лист Мёбиуса», являющийся неориентируемой поверхностью. Остальная часть проективной плоскости — это открытый диск. Если вырезать круг из бумаги и попытаться склеить попарно противоположные точки граничной окружности, то мы увидим, что сделать это не удается. Дело в том, что проективную плоскость нельзя расположить без самопересечения в трехмерном евклидовом пространстве.
Рис. 77
Рис. 78 С другой стороны, в топологии существует теорема о том, что любая поверхность может быть помещена без самопересечения в четырехмерном евклидовом пространстве Рассмотрим теперь устройство тора. Если в прямоугольнике противоположные стороны в соответствии с направлением стрелок. Стороны В качестве следующего примера возьмем восьмиугольник, попарно отождествив его одинаково обозначенные, как это показано на рис. 79, стороны. В результате получим поверхность кренделя. Это замкнутая поверхность рода 2. Заметим, что тор является поверхностью рода 1, а сфера — поверхностью рода 0. На поверхности рода 2 выделим канонические (см. рис. 80) замкнутые кривые отождествляемым сторонам соответствуют канонические Что касается неориентируемых замкнутых поверхностей, то также известно, что существует бесконечно много топологически различных видов.
Рис. 79
Рис. 80 Кроме проективной плоскости, можно привести в качестве примера так называемую «бутылку Клейна». Для этого отождествим попарно стороны четырехугольника, как это показано на рис. 81. Получающаяся фигура представляет собой неориентируемую замкнутую поверхность, которая не может быть реализована в пространстве
Рис. 81 Если все же вопреки, так сказать, логике попытаться построить ее в обычном пространстве, то мы поручим нечто с самопересечением, напоминающее по форме бутылку, отсюда и название «бутылка Клейна». Итак, чтобы получить замкнутую поверхность, нужно взять многоугольник с определенным числом сторон и затем эти стороны по некоторому правилу попарно отождествить.
Рис. 82 При отождествлении сторон необходимо учитывать взаимное направление сторон. Для замкнутой ориентируемой поверхности рода
где При таком способе задания проективно плоскости будет соответствовать двухугольник аа или «бутылке Клейна» — Вообще замкнутую неориентируемую поверхность можно представить посредством многоугольника в следующем виде:
где При помощи последовательностей (2) и (3) можно выразить все виды замкнутых поверхностей. Такое представление называют нормальной формой замкнутой поверхности. Возьмем на поверхности тора замкнутые линии a и b. С их помощью можно описать все существенно различающиеся между собой замкнутые кривые линии. Например, линия с будет выражена как Объяснить это можно, обратившись к очень важной и общей идее в топологии, именно к теории групп гомологий, речь о которых пойдет в следующей главе. А сейчас мы только заметим, что знак плюс означает операцию сложения в группе гомологий, а равенство а
где Обратившись к проективной плоскости, можно вспомнить, что линия
|
1 |
Оглавление
|