§ 3. Кривые поверхности

Головной убор (берет, шляпа) представляет собой кривую поверхность, имеющую край. Поверхность строительной колонны, неограниченно продолженной, не имеет края. Евклидова плоскость не имеет края и представляет собой неограниченную поверхность. Ограниченные, но не имеющие края кривые поверхности, например сферическая поверхность, поверхность тора, проективная плоскость, являются замкнутыми поверхностями.

Замкнутая поверхность — это топологическое подпространство в евклидовом пространстве, которое, во-первых, ограничено и, во-вторых, любая его точка обладает окрестностью, гомеоморфной евклидовой плоскости.

Смысл первого условия состоит в том, что исключаются из рассмотрения бесконечно продолжаемые поверхности. Здесь, конечно, следовало бы использовать топологический термин компактность, и условие ограниченности в определении мы употребили для наглядности.

Рис. 70

Второе условие отражает основное свойство присущее любой кривой поверхности. Рассмотрим множество точек плоскости расположенных внутри окружности единичного радиуса.

Топологический образ внутренней части круга называют открытым -диском (двумерным диском). Нетрудно показать, что открытый -диск гомеоморфен евклидовой плоскости Применяя слово «диск», второе условие можно выразить так:

некоторая окрестность любой точки пространства есть открытый -диск.

Рис. 71

Ясно, в частности, что множество точек, достаточно близких к точке как на сферической поверхности, так и на поверхности тора является открытым -диском.

Рассмотрим топологическое устройство проективной плоскости Как уже отмечалось, проективная плоскость представляет

Рис. 72

собой поверхность, которая получается из сферы отождествлением каждой пары ее антиподальных точек. Поэтому если взять точки верхней полусферы, то необходимость в точках нижней полусферы отпадает. Действительно, поскольку пара антиподальных точек представляет. одну точку проективной плоскости, то с тем же успехом ее можно представить одной точкой, например, верхней полусферы.

Рис. 73

Рис. 74

Поэтому вся проективная плоскость может быть представлена только полусферой («котелком»), у которой антиподальные точки экваториальной окружности необходимо отождествить:

Спроектируем верхнюю полусферу, как это показано на рис. 74, на круг. Очевидно, что точечное соответствие устанавливаемое при этой проекции, является гомеоморфизмом. Таким образом, проективная плоскость гомеоморфна кругу, у которого одна половина а граничной окружности отождествлена с другой полуокружностью. Эта полуокружность

является замкнутой жордановой кривой в проективной плоскости. Проективная плоскость удовлетворяет второму условию замкнутой! поверхности. Действительно, если два полудиска в окрестности одной точки «склеить» по граничной дуге, то получится целый открытый диск (рис. 75).

Объяснение того, что в данном случае мы, имеем дело с неориентируемой поверхностью, отняло бы много времени, поэтому мы ограничимся рассмотрением конкретного примера (рис. 76).

Если при помощи стрелки задать ориентацию полудиска в окрестности точки в направлении, указанном на рис. 76, то и весь диск можно сориентировать в том же направлении. В «полудиске» гочки это направление согласовано с дугой а. При отождествлении антиподальных точек, в том числе при переходе из полудиска в полудиск направление ориентации меняется на противоположное.

Если на проективной плоскости (рис. 76)

Рис. 75

Рис. 76

взять во внимание только область, ограниченную пунктирными линиями, то легко понять, что это «лист Мёбиуса», являющийся неориентируемой поверхностью. Остальная часть проективной плоскости — это открытый диск. Если вырезать круг из бумаги и попытаться склеить попарно противоположные точки граничной окружности, то мы увидим, что сделать это не удается. Дело в том, что проективную плоскость нельзя расположить без самопересечения в трехмерном евклидовом пространстве.

Рис. 77

Рис. 78

С другой стороны, в топологии существует теорема о том, что любая поверхность может быть помещена без самопересечения в четырехмерном евклидовом пространстве На этом основании можно утверждать, что и проективная плоскость может быть реализована в четырехмерном пространстве.

Рассмотрим теперь устройство тора. Если в прямоугольнике его противоположные стороны отождествить так, как это показало на рис. 77, то получим замкнутую поверхность, которая и есть тор. Тор можно сделать в пространстве вырезав для этого прямоугольник из бумаги и склеив его

противоположные стороны в соответствии с направлением стрелок. Стороны и превращаются в замкнутые кривые линии. Точки на поверхности тора преобразуются в одну. В то время как замкнутая кривая на сфере по теореме Жордана делит сферическую поверхность на две части, на торе не каждая замкнутая кривая делит его поверхность на частр. Это указывает на топологическое различие этих поверхностей. Тот факт, что у разных поверхностей кривые имеют разные свойства, отмечал еще Гаусс. На этом основана классификация замкнутых поверхностей.

В качестве следующего примера возьмем восьмиугольник, попарно отождествив его одинаково обозначенные, как это показано на рис. 79, стороны. В результате получим поверхность кренделя. Это замкнутая поверхность рода 2. Заметим, что тор является поверхностью рода 1, а сфера — поверхностью рода 0. На поверхности рода 2 выделим канонические (см. рис. 80) замкнутые кривые . В общем случае можно взять -сторонник и отождествить по определенному закону его -стороны попарно — в соответствующие им канонические замкнутые линии. В результате такого отождествления получается замкнутая ориентируемая поверхность рода а

отождествляемым сторонам соответствуют канонические замкнутые кривые. Доказано, что таким образом могут быть исчерпаны все топологические типы замкнутых ориентируемых поверхностей.

Что касается неориентируемых замкнутых поверхностей, то также известно, что существует бесконечно много топологически различных видов.

Рис. 79

Рис. 80

Кроме проективной плоскости, можно привести в качестве примера так называемую «бутылку Клейна». Для этого отождествим попарно стороны четырехугольника, как это показано на рис. 81. Получающаяся фигура представляет собой неориентируемую замкнутую поверхность, которая не может быть реализована в пространстве

Рис. 81

Если все же вопреки, так сказать, логике попытаться построить ее в обычном пространстве, то мы поручим нечто с самопересечением, напоминающее по форме бутылку, отсюда и название «бутылка Клейна».

Итак, чтобы получить замкнутую поверхность, нужно взять многоугольник с определенным числом сторон и затем эти стороны по некоторому правилу попарно отождествить.

Рис. 82

При отождествлении сторон необходимо учитывать взаимное направление сторон. Для замкнутой ориентируемой поверхности рода обход сторон многоугольника по контуру приводит к такой последовательности:

где - это показатель того, что направление обхода противоположно направлению стороны

При таком способе задания проективно плоскости будет соответствовать двухугольник аа или «бутылке Клейна» — Мы видим, что для неориентируемых поверхностей некоторые отождествляемые стороны берутся в одинаковом порядке: или

Вообще замкнутую неориентируемую поверхность можно представить посредством многоугольника в следующем виде:

где род поверхности.

При помощи последовательностей (2) и (3) можно выразить все виды замкнутых поверхностей. Такое представление называют нормальной формой замкнутой поверхности.

Возьмем на поверхности тора замкнутые линии a и b. С их помощью можно описать все существенно различающиеся между собой замкнутые кривые линии. Например, линия с будет выражена как (знак плюс не означает добычной суммы).

Объяснить это можно, обратившись к очень важной и общей идее в топологии, именно к теории групп гомологий, речь о которых пойдет в следующей главе. А сейчас мы только заметим, что знак плюс означает операцию сложения в группе гомологий, а равенство а или а означает, что кривая а с ограничивает часть поверхности. Любую кривую на поверхности тора можно представить при помощи формулой

где произвольные целые числа.

Обратившись к проективной плоскости,

можно вспомнить, что линия является границей круга. В то же время а хотя и замкнутая кривая, но не является границей какой-либо части проективной плоскости. Поэтому если взять то получим край проективной плоскости, хотя