Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава 2. Аффинная геометрия§ 1. Аффинные преобразованияТермин «аффинное преобразование» относится временам Л. Эйлера (1707— 1783). Сам ли Эйлер ввел термин «аффинное преобразование» - я не буду останавливаться на истории этого вопроса. Впоследствии для выяснения свойств аффинных преобразований очень многое сделал А. Ф. Мёбиус (1790—1868). В 1827 году появилась его книга «Барицентрическое исчисление», ставшая основополагающей в аффинной геометрии. Название «аффинная геометрия» разделу геометрии, в котором рассматриваются свойства, сохраняющиеся при аффинных преобразованиях, дал, видимо, Клейн. В 1872 году в Эрлангенской программе (подробней об этом см. ниже) он высказал идею о том, что различным видам преобразований соответствуют различные виды геометрии. Позднее он писал: «Теория инвариантов аффинных преобразований (Inva-riantentheorie der affinen Transformationen), или аффинная геометрия,— это особый вид геометрии» («Элементарная математика с точки зрения высшей»). Сейчас постараемся подробней и более понятно рассказать об аффинных преобразованиях. Возьмем евклидову плоскость
Очевидно, что движений плоскости бесконечно много. Например, любой параллельный перенос (всей плоскости) или вращение (опятн же всей плоскости). Преобразования, при которых прямолинейно расположенные точечные множества переходят обязательно также в прямолинейные множества, называются аффинными преобразованиями плоскости Мёбиус такие преобразования называл коллинеациями. Вообще говоря, коллинеация и аффинное преобразование в общей аффинной геометрии несколько различны по содержанию, но в области рациональных или вещественных чисел значения этих терминов совпадают. Обозначим какое-нибудь аффинное преобразование через
Точки прямой I переходят в точки прямой Вращение плоскости, как мы уже упоминали, является частным случаем аффинного преобразования. В самом деле при вращении любая прямая переходит в прямую. Я знаю, что многие считают обременительным введение различных символов, таких, как
Рис. 6. Приступая к описанию свойств аффинных преобразований, мы остановимся на их связи с движениями в евклидовой геометрии. При евклидовом движении достаточно рассматривать лишь то, как перемещаются фигуры ограниченного размера, и этим уже движение плоскости определяется полностью. Так, при определении равенства двух треугольников особое внимание обращается лишь на стороны этих треугольников. Если
В действительности же под движением Основная теорема о движениях евклидовой плоскости утверждает, что любое евклидово движение можно представить как некоторый параллельный перенос с последующим
Рис. 7. определенным поворотом и, быть может, отражением плоскости в прямой. Заметим, что параллельный перенос и поворот можно получить непрерывным перемещением плоскости по себе. На евклидовой плоскости два равных по длине отрезка Действительно, поскольку при движении расстояние не меняется, то точка Как указывалось выше, движение евклидовой плоскости — это прежде всего взаимно однозначное преобразование плоскости 1. Все точки плоскости 2. Каждая прямая переходит в прямую. 3. Расстояние не меняется. Для аффинных преобразований, которые мы сейчас будем рассматривать, третье условие лишнее. Аффинные преобразования удовлетворяют лишь 1-му и 2-му условиям. Например, рассмотрим на евклидовой плоскости преобразования, при которых фигуры растягиваются или сжимаются подобным образом. Эти преобразования являются примером аффинных преобразований. На рис. 8 точка О остается на месте, но любая другая точка А переходит в соответствующую точку При аффинных преобразованиях длина соответствующего отрезка, как правило, меняется (на рис. 8
Рис. 8. неодинаковыми. Поэтому фигуры можно сравнивать, классифицировать, определять их вид. В аффинной геометрии две фигуры, соответствующие друг другу при аффинных преобразованиях, также определяются как равные (в аффинном смысле). И с новой точки зрения фигуры также можно сравнивать между собой и определять их вид. В аффинной геометрии, как видно из вышеприведенного примера, фигуры разной длины, например отрезки Такие понятия, как равносторонний и общий треугольники, показанные на рис. 1, существуют лишь на евклидовой плоскости. В аффинной геометрии все они эквивалентны. На аффинной плоскости в рамках аффинной геометрии таких понятий, как равносторонний или прямоугольный треугольник, нет. Там есть просто треугольник. Выше мы изложили, может быть, несколько с общематематическим уклоном общие взгляды относительно конгруэнтных и аффинных щреобразований евклидовой геометрии и аффинной геометрии. Для их осмысления не нужны были ни предварительные специальные знания, ни вычислительные навыки. Мы рассмотрели вопрос о том, какое место в геометрии занимает аффинная геометрия. Но этого совершенно недостаточно, для того чтобы понять подлинное содержание аффинной геометрии.
|
1 |
Оглавление
|