Глава 2. Аффинная геометрия

§ 1. Аффинные преобразования

Термин «аффинное преобразование» относится временам Л. Эйлера (1707— 1783). Сам ли Эйлер ввел термин «аффинное преобразование» - я не буду останавливаться на истории этого вопроса. Впоследствии для выяснения свойств аффинных преобразований очень многое сделал А. Ф. Мёбиус (1790—1868).

В 1827 году появилась его книга «Барицентрическое исчисление», ставшая основополагающей в аффинной геометрии. Название «аффинная геометрия» разделу геометрии, в котором рассматриваются свойства, сохраняющиеся при аффинных преобразованиях, дал, видимо, Клейн. В 1872 году в Эрлангенской программе (подробней об этом см. ниже) он высказал идею о том, что различным видам преобразований соответствуют различные виды геометрии. Позднее он писал: «Теория инвариантов аффинных преобразований (Inva-riantentheorie der affinen Transformationen), или аффинная геометрия,— это особый вид геометрии» («Элементарная математика с точки зрения высшей»).

Сейчас постараемся подробней и более понятно рассказать об аффинных преобразованиях.

Возьмем евклидову плоскость основной объект евклидовой геометрии. Она представляет собой множество точек. Известно, что движение плоскости — взаимно однозначное отображение множества точек плоскости на себя с вполне определенными свойствами. Символически преобразование плоскости записывают так:

Очевидно, что движений плоскости бесконечно много. Например, любой параллельный перенос (всей плоскости) или вращение (опятн же всей плоскости). Преобразования, при которых прямолинейно расположенные точечные множества переходят обязательно также в прямолинейные множества, называются аффинными преобразованиями плоскости

Мёбиус такие преобразования называл коллинеациями. Вообще говоря, коллинеация и аффинное преобразование в общей аффинной геометрии несколько различны по содержанию, но в области рациональных или вещественных чисел значения этих терминов совпадают.

Обозначим какое-нибудь аффинное преобразование через

Точки прямой I переходят в точки прямой (последняя прямая обычно не совпадает с прямой Ясно, что при этом точка прямой переходит в точку прямой

Вращение плоскости, как мы уже упоминали, является частным случаем аффинного преобразования. В самом деле при вращении любая прямая переходит в прямую.

Я знаю, что многие считают обременительным введение различных символов, таких, как п. Однако символы издавна использовались для того, чтобы сжато и точно передать тот или иной смысл вместо выражения его длинным предложением, и поэтому они имеют значение в математике. Мы тоже будем использовать различные символы, хотя все же постараемся не злоупотреблять ими.

Рис. 6.

Приступая к описанию свойств аффинных преобразований, мы остановимся на их связи с движениями в евклидовой геометрии.

При евклидовом движении достаточно рассматривать лишь то, как перемещаются фигуры ограниченного размера, и этим уже движение плоскости определяется полностью.

Так, при определении равенства двух треугольников особое внимание обращается лишь на стороны этих треугольников. Если движение, переводящее в равный т. е. то это означает, что произвольная точка на стороне, скажем, при движении переходит в соответствующую точку на стороне

В действительности же под движением понимают конгруэнтное преобразование всей плоскости в частности, это касается треугольника расположенного на ней.

Основная теорема о движениях евклидовой плоскости утверждает, что любое евклидово движение можно представить как некоторый параллельный перенос с последующим

Рис. 7.

определенным поворотом и, быть может, отражением плоскости в прямой. Заметим, что параллельный перенос и поворот можно получить непрерывным перемещением плоскости по себе.

На евклидовой плоскости два равных по длине отрезка и совмещаются друг с другом посредством движения Если взять какую-нибудь третью точку то посредством этого движения она переместится в точку (или же в точку если привлечь отражение плоскости в прямой).

Действительно, поскольку при движении расстояние не меняется, то точка определяется равенствами Поэтому если две вершины заданы и известны длины прилегающих к ним сторон, то третья вершина может занимать одно из двух положений: или Другими словами, для задания того или иного движения плоскости достаточно знать лишь судьбу образов трех ее точек (не лежащих на одной прямой).

Как указывалось выше, движение евклидовой плоскости — это прежде всего взаимно однозначное преобразование плоскости Кроме того, во всех случаях, будь то параллельный перенос, или же поворот, или же отражение в прямой, все равно прямолинейные ряды точек обязательно переходят в прямолинейные ряды. Кроме того, при любом движении длины отрезков не меняются. Действительно, в § 2 главы 1 мы приводили следующие свойства, характеризующие евклидовы движения:

1. Все точки плоскости преобразуются взаимно однозначно,

2. Каждая прямая переходит в прямую.

3. Расстояние не меняется.

Для аффинных преобразований, которые мы сейчас будем рассматривать, третье условие лишнее. Аффинные преобразования удовлетворяют лишь 1-му и 2-му условиям.

Например, рассмотрим на евклидовой плоскости преобразования, при которых фигуры растягиваются или сжимаются подобным образом. Эти преобразования являются примером аффинных преобразований. На рис. 8 точка О остается на месте, но любая другая точка А переходит в соответствующую точку а каждая прямая переходит в соответствующую прямую

При аффинных преобразованиях длина соответствующего отрезка, как правило, меняется (на рис. 8 ). Как евклидовы движения, так и аффинные преобразования представляют собой особый вид преобразований. В евклидовой геометрии фигуры, соответствующие друг другу при конгруэнтных преобразованиях, равны, а фигуры, которые совместить невозможно, считаются неравными,

Рис. 8.

неодинаковыми. Поэтому фигуры можно сравнивать, классифицировать, определять их вид. В аффинной геометрии две фигуры, соответствующие друг другу при аффинных преобразованиях, также определяются как равные (в аффинном смысле). И с новой точки зрения фигуры также можно сравнивать между собой и определять их вид. В аффинной геометрии, как видно из вышеприведенного примера, фигуры разной длины, например отрезки и вообще говоря, могут оказаться эквивалентными. Другими словами, в аффинной геометрии длина не имеет существенного значения. Это же относится и к величине угла. В то время как отбрасываются длина и вся связанная с ней система мер, в аффинной геометрии, как и в евклидовой, сохраняются прямые, точки их пересечения, т. е. линейная структура. Плоскость, рассматриваемая в этой геометрии, получает новое название - аффинной плоскости. Но при всем при том аффинная плоскость как множество точек совпадает с евклидовой плоскостью. Только на ней не рассматривается расстояние.

Такие понятия, как равносторонний и общий треугольники, показанные на рис. 1, существуют лишь на евклидовой плоскости. В аффинной геометрии все они эквивалентны. На аффинной плоскости в рамках аффинной геометрии таких понятий, как равносторонний или прямоугольный треугольник, нет. Там есть просто треугольник.

Выше мы изложили, может быть, несколько с общематематическим уклоном общие взгляды относительно конгруэнтных и аффинных щреобразований евклидовой геометрии и аффинной геометрии. Для их осмысления не

нужны были ни предварительные специальные знания, ни вычислительные навыки. Мы рассмотрели вопрос о том, какое место в геометрии занимает аффинная геометрия. Но этого совершенно недостаточно, для того чтобы понять подлинное содержание аффинной геометрии.