Глава 3. Проективная геометрия

Проективная геометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур при помощи так называемых проективных преобразований. Иначе говоря, это геометрия, изучающая только проективные свойства фигур. Появление термина «проективная геометрия» относится, по-видимому, к XVIII веку.

Осношз! проективной геометрии были заложены знаменитыми математиками Ж. Дезаргом (1593—1662) и Б. Паскалем (1623—1662), которые изучали проективные свойства фигур на евклидовой плоскости.

Дезарг в своих исследованиях не прибегал к помощи координат или каких-либо других аналитических методов. Геометрические особенности проективных свойств он изучал чисто геометрическим, или, как еще говорят, синтетическим методом. Теоремы, установленные Дезаргом, производят сильное впечатление. Ныне эти теоремы часто включают в учебники в качестве задач. Напротив, современник Дезарга Р. Декарт (1596—1650) создал аналитический метод изучения евклидовой геометрии

посредством введения системы координат. Эта область геометрии получила название аналитической геометрии.

При синтетическом подходе, как это можно видеть на примере доказательств теорем евклидовой геометрии, логические построения ведутся с самого начала и до конца при помощи геометрических рассуждений, и для всех этапов доказательства характерна наглядность. В этом отношении синтетическая геометрия, можно сказать, стоит выше аналитической, но, с другой стороны, часто бывает весьма трудно одолеть ту или иную задачу лишь при помощи наглядности и интуиции. В аналитической же геометрии Декарта, где сначала вводится система координат и затем проводится цепочка алгебраических операций, все( задачи исследуются единообразным методом, т. е. аналитически выраженные соотношения фигур получаются путем вычислений, и тем самым, как хорошо известно, снимается ряд трудностей при решении. И все же в XVII—XVIII веках исследования в области аналитической геометрии носили весьма общий характер. Сказывалось, по-видимому, сильное в то время влияние синтетического подхода. Действительно, среди проблем есть немало таких, для которых не удается найти ясного решения только лишь аналитическими средствами, и тогда становится необходим синтетический в своей основе подход. Но эти же задачи, с другой стороны, неподвластны одному только синтетическому методу. Другими словами, никакой вообще метод сам по себе не является универсальным.

Однако еще в XIX веке активно велась дискуссия, какому из методов —

синтетическому (чисто геометрическому) или аналитическому — отдать предпочтение в геометрии. Одни геометры настойчиво отвергали алгебраические вычисления, другие же, напротив, были горячими сторонниками координатного метода. Клейну была не по душе подобная ортодоксальность в отношении того или иного метода, и он утверждал, что основная проблема заключается в изучении самой геометрии и что преимущество каждого из методов он видит в их взаимодействии. Поскольку для большинства читателей вычисления представляют определенные трудности, я, исходя из общих соображений, в этой книге применял в основном синтетический способ изложения.

Надо сказать, что предвестницей возрождения синтетического метода явилась вышедшая в конце XVIII века книга Г. Монжа (1746—1818) о начертательной геометрии. Начертательная геометрия — это та область геометрии, которая исследует методы изображения пространственных фигур на плоскости.

Затем в первой половине XIX века, благодаря исследованиям в то время молодых ученых — М. Шаля (1793—1880), Д. Понселе (1788—1867), Я. Штейнера (1796—1863), X. Штаудта (1798—1867) и других, — настала эпоха блистательного расцвета синтетической геометрии. Но аналитический метод, в отличие от методов синтетической геометрии, был более универсальным, и это преимущество имело огромное значение.

В наши дни проективная геометрия развивается не только как проективная непрерывная геометрия, но и в направлении проективной конечной геометрии, которая является одной из ветвей современной математики.

То, что изучает современная проективная геометрия, весьма далеко от того, что свойственно классической геометрии, тем не менее в данной книге мы будем иметь дело только с вещественной проективной плоскостью, геометрия которой относится к числу классических.