Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 3. Фундаментальные группы и гомотопияПуанкаре ввел в круг исследований, помимо группы гомологий, также фундаментальную группу. Это являющееся топологическим инвариантом понятие наглядно и вместе с тем имеет глубокий смысл. Мы постараемся пояснить этот вопрос доступным образом на конкретных примерах. Если замкнутая кривая линия а ограничивает на поверхности двумерный диск, т. е. гомеоморфную кругу область, то говорят, что эта кривая гомотопна нулю: а Между тем на поверхности Следовательно, они не гомотопны нулю, и это условно обозначают как
Рис. 93 Выясним теперь, гомотопна ли нулю замкнутая кривая а на сфере с «дыркой», т. е. на сфере, из которой вырезан открытый двумерный диск с границей мы видим, что на поверхности сферы с «дыркой» замкнутая кривая а гомотопна нулю: Нетрудно видеть, что наличие односвязности или ее отсутствие является свойством топологически инвариантным. Доказательство этого достаточно длинно, но основная его идея совпадает с идеей доказательства топологической инвариантности линейной связности пространства. Топологическая инвариантность свойства односвязности играет важную роль как в геометрии, так и в анализе. Определение фундаментальной группы основано на классификации всех замкнутых кривых линий, при которой в один класс попадают все так называемые гомотопные между собой члинии. Фундаментальная группа может быть определена не только для кривых поверхностей, но и для произвольного связного топологического пространства.
Рис. 94 Пусть точка О — произвольная фиксированная точка в топологическом пространстве
Рассмотрим окружность непрерывное отображение, при котором вся окружность
Рис. 95 Определим теперь исходя из непрерывных отображений
Рис. 134 соответствующее произведению кривых Далее, говорят, что замкнутая кривая линия Рассмотрим теперь тор
Рис. 97 В соответствии с вышеприведенным определением замкнутой кривой линии
Рис. 98 Если вдоль границы прямоугольника задать направление обхода, например, как это показано на рис. 98, против часовой стрелки, то замкнутая кривая линия, соответствующая этому обходу, определится как гомотопически эквивалентен нулю. Об этом можно прочитать в соответствующем разделе учебника по топологии. Устройство фундаментальных групп замкнутых кривых зависит от прсэстранства. Например, на замкнутой поверхности рода 2 (рис. 99) достаточно взять четыре замкнутые линии Фундаментальная группа является топологическим инвариантом. Обозначается фундаментальная группа, с фиксированной в пространстве
Рис. 99 Если их фундаментальные группы Фундаментальные группы играют первостепенную роль в проблеме узлов, которой, после того как ее поставил Листинг, было уделено много внимания и усилий. Выше мы дали определение кривой, гомотопной нулю. Это основное понятие в теории гомотопий имеет исключительно важное значение в топологии в целом. Теория гомотопий наряду с теорией гомологий, представлявшие собой два основных направления в алгебраической топологии довоенного периода, сохранили свое значение и в настоящее время. В проблеме классификации геометрических фигур, навеянной программой Клейна, основной вопрос состоит в том, имеет ли место в каждом отдельном случае гомеоморфизм пространств или нет. Гомеоморфные пространства рассматриваются как одинаковые пространства. Параллельно по мере дальнейшего развития теории гомотопий возникла другая важная проблема — вопрос о том, какие пространства гомотопически одинаковы, а какие нет. Гомотопически эквивалентные пространства объединяют в один гомотопический класс. Говорить об особенностях гомотопической классификации в целом — дело весьма сложное. Мы постараемся дать здесь лишь в общих чертах характеристику того, что называется гомотопическим классом. Этот довольно сложный вопрос попытаемся объяснить на наглядных примерах. Гомотопия непрерывных отображений. Два непрерывных отображения Обратимся к рисунку. Введем пространство Координаты точек такого пространства представляют собой пары
Рис. 100 Более формально можно сказать, что отображения
Рис. 101 После определения гомотопных отображений можно сформулировать гомотопическую эквивалентность двух топологических пространств
Рис. 102 В этом случае говорят, что пространства
На рис. 103 это проиллюстрировано в соответствии с определением гомотопных отображений. Здесь отображение В проблеме гомотопической эквивалентности топологических пространств можно использовать упоминавшиеся ранее группы гомологий и фундаментальные группы, которые являются гомотопическими инвариантами.
Рис. 103 Следовательно, аналогично тому, как это было с топологическим отображением, можно сказать, что если фундаментальные группы или группы гомологий пространств Таким образом, гомеоморфные пространства гомотопически эквивалентны. Обратно, треугольник и прямолинейный отрезок хотя и гомотопически эквивалентны, однако не гомеоморфны. Размерность пространства есть топологический инвариант, поэтому пространства разной размерности топологически не эквивалентны. Однако размерность не является гомотопическим инвариантом. В связи с этим гомотопическая классификация по сравнению с топологической классификацией геометрических фигур является более грубой и примитивной. И если отсутствуют Признаки гомотопической эквивалентности, то, естественно, не может быть и речи о топологическом соответствии. На рис. 104 схематично показано, что в пределах одного гомотопического класса располагается несколько различных топологических типов; это поясняется подписями к рисунку. В заключение затронем вопрос о гомотопических группах. В 1935 и 1936 годах в трудах Голландской академии наук Гуревич (1904—1956) опубликовал работы, в которых впервые ввел
Рис. 104 гомотопические группы Изучение гомотопических групп интенсивно продолжается и в настоящее время, весьма широко оно ведется и в Японии, но рассказать об этом здесь не представляется возможным.
|
1 |
Оглавление
|