§ 3. Фундаментальные группы и гомотопия

Пуанкаре ввел в круг исследований, помимо группы гомологий, также фундаментальную группу. Это являющееся топологическим инвариантом понятие наглядно и вместе с тем имеет глубокий смысл. Мы постараемся пояснить этот вопрос доступным образом на конкретных примерах.

Если замкнутая кривая линия а ограничивает на поверхности двумерный диск, т. е. гомеоморфную кругу область, то говорят, что эта кривая гомотопна нулю: а Любая простая замкнутая кривая а на сфере, как мы уже говорили в связи с группами гомологий, ограничивает двумерный диск. Эта кривая а таким образом не только гомологична нулю но также и гомотопна нулю

Между тем на поверхности (в правой части рис. 93) замкнутые кривые не ограничивают двумерных дисков.

Следовательно, они не гомотопны нулю, и это условно обозначают как Замкнутая линия ограничивает «половину» поверхности Поверхность по этой линии разрезается на две части, из которых ни одна не гомеоморфна диску. Таким образом замкнутая линия являясь границей куска поверхности, гомологична нулю На этом примере проявилось различие между группами гомологий и фундаментальными группами.

Рис. 93

Выясним теперь, гомотопна ли нулю замкнутая кривая а на сфере с «дыркой», т. е. на сфере, из которой вырезан открытый двумерный диск с границей (см. фигуру в левой части рис. 93). Рассмотрим сначала ограниченную кривой ту часть сферы а, из которой вырезан диск. Граница этой части сферы состоит не только из линии а, но и из линии Поэтому на основании теории гомологий имеем или т. е. Противоположная же часть сферической поверхности гомеоморфна двумерному диску. В самом деле, нетрудно представить резиновую пленку, растянутую по сфере. Таким образом,

мы видим, что на поверхности сферы с «дыркой» замкнутая кривая а гомотопна нулю: и уж, безусловно, 0. Здесь уместно сказать, что поверхность, на которой любая замкнутая кривая гомотопна нулю, называется односвязной. Приведенная на рис. 93 поверхность не является односвязной. Евклидова плоскость напротив, односвязна.

Нетрудно видеть, что наличие односвязности или ее отсутствие является свойством топологически инвариантным. Доказательство этого достаточно длинно, но основная его идея совпадает с идеей доказательства топологической инвариантности линейной связности пространства. Топологическая инвариантность свойства односвязности играет важную роль как в геометрии, так и в анализе.

Определение фундаментальной группы основано на классификации всех замкнутых кривых линий, при которой в один класс попадают все так называемые гомотопные между собой члинии. Фундаментальная группа может быть определена не только для кривых поверхностей, но и для произвольного связного топологического пространства.

Рис. 94

Пусть точка О — произвольная фиксированная точка в топологическом пространстве Если взять теперь две замкнутые кривые линии исходящие из точки О, то линия (путь), проведенная сначала по кривой а и затем продолженная по кривой 6, представляет собой также замкнутую кривую, которую обозначают через Хотя кривая подобно кривой с на рис. 94, может иметь промежуточные точки самопересечения, она все равно представляет собой кривую линию, которая, заметим, замыкается в точке О. Представим себе еще одну (особую) замкнутую кривую линию, проходящую через единственную точку О. Для только что введенной операции умножения кривых эта кривая играет роль единицы:

Конечно, с чисто математической точки зрения об этом следовало говорить несколько строже. Не вдаваясь здесь во все подробности вопроса, постараемся дать математическое определение гомотопического произведения и нуля. Это сделать довольно непросто, но при упрощенном кратком изложении есть риск упустить нечто существенное, и, очевидно, у нас другого пути нет.

Рассмотрим окружность и возьмем на ней некоторую точку Зафиксируем соответственно некоторую точку О в топологическом пространстве и рассмотрим все возможные непрерывные отображения при которых точка, переходит в О. При этих отображениях окружность принимает в пространстве вид замкнутых кривых линий. Роль единичного элемента играет

непрерывное отображение, при котором вся окружность переходит в точку Обозначим замкнутую кривую линию через а. В таком обозначении

Рис. 95

Определим теперь исходя из непрерывных отображений окружности а в произведение замкнутых кривых линий Для этого окружность а разделим точками на две полуокружности (рис. 96). Непрерывное отображение,

Рис. 134

соответствующее произведению кривых строится так: первая полуокружность отображается в этом и О переходят в О), а вторая полуокружность — в Говоря попросту, чтобы получить произведение путей нужно первую полуокружность намотать на путь а вторую — на путь

Далее, говорят, что замкнутая кривая линия гомотопна нулю, если отображение можно расширить до непрерывного отображения в пространство всего диска описанного окружностью а Здесь мы имеем в виду, что в то время как замкнутая кривая линия а описывает двумерный диск ее образ — замкнутая кривая линия описывает непрерывный образ диска — фигуру

Рассмотрим теперь тор который образован из прямоугольника посредством склеивания противоположных сторон: и замкнутые на нем линии .

Рис. 97

В соответствии с вышеприведенным определением замкнутой кривой линии можно выразить при помощи непрерывных отображений окружности -при которых

Рис. 98

Если вдоль границы прямоугольника задать направление обхода, например, как это показано на рис. 98, против часовой стрелки, то замкнутая кривая линия, соответствующая этому обходу, определится как Это выражение есть произведение замкнутых кривых, причем это замкнутые кривые линии с противоположными направлениями. Замкнутая кривая ограничивает на поверхности четырехугольную фигуру, являющуюся двумерным диском. Следовательно, этот путь гомотопен нулю: Отсюда следует, что в фундаментальной группе тора Если говорить здесь несколько подробнее, то необходимо, например, было доказать, что для любой произвольно взятой замкнутой кривой линии а в фундаментальной группе выполняется аагх т. е. что путь

гомотопически эквивалентен нулю. Об этом можно прочитать в соответствующем разделе учебника по топологии.

Устройство фундаментальных групп замкнутых кривых зависит от прсэстранства. Например, на замкнутой поверхности рода 2 (рис. 99) достаточно взять четыре замкнутые линии чтобы произвольно взятую замкнутую кривую можно было выразить посредством умножения этих четырех замкнутых кривых линий.

Фундаментальная группа является топологическим инвариантом. Обозначается фундаментальная группа, с фиксированной в пространстве точкой О, через Выберем в линейносвязных пространствах по точке

Рис. 99

Если их фундаментальные группы и различные, в силу топологической инвариантности фундаментальной группы можно сказать, что пространства не гомеоморфны.

Фундаментальные группы играют первостепенную роль в проблеме узлов, которой, после того как ее поставил Листинг, было уделено много внимания и усилий.

Выше мы дали определение кривой, гомотопной нулю. Это основное понятие в теории

гомотопий имеет исключительно важное значение в топологии в целом. Теория гомотопий наряду с теорией гомологий, представлявшие собой два основных направления в алгебраической топологии довоенного периода, сохранили свое значение и в настоящее время.

В проблеме классификации геометрических фигур, навеянной программой Клейна, основной вопрос состоит в том, имеет ли место в каждом отдельном случае гомеоморфизм пространств или нет. Гомеоморфные пространства рассматриваются как одинаковые пространства. Параллельно по мере дальнейшего развития теории гомотопий возникла другая важная проблема — вопрос о том, какие пространства гомотопически одинаковы, а какие нет. Гомотопически эквивалентные пространства объединяют в один гомотопический класс. Говорить об особенностях гомотопической классификации в целом — дело весьма сложное. Мы постараемся дать здесь лишь в общих чертах характеристику того, что называется гомотопическим классом. Этот довольно сложный вопрос попытаемся объяснить на наглядных примерах.

Гомотопия непрерывных отображений. Два непрерывных отображения пространства в пространство считаются гомотопными если существует семейство непрерывных отображений -которые непрерывно меняются в зависимости от параметра пробегающего отрезок [0,1], причем при крайних значениях они совпадают с

Обратимся к рисунку. Введем пространство так называемое прямое произведение пространства и отрезка

Координаты точек такого пространства представляют собой пары где А — точка пространства число между и Таким образом, если в рассматривать подпространство точек при фиксированном то оно гомеоморфно Говорят, что пространство «заметается» пространством с течением времени

Рис. 100

Более формально можно сказать, что отображения -гомотопны, если существует непрерывное отображение такое; что совпадает с совпадает с

Рис. 101

После определения гомотопных отображений можно сформулировать гомотопическую эквивалентность двух топологических пространств Предположим, что существуют два непрерывных отображения -суперпозиции которых гомотопны отображениям и соответственно где означает тождественное преобразование пространства на себя, -соответственно тож дественное преобразование пространства

Рис. 102

В этом случае говорят, что пространства гомотопически эквивалентны или, иначе, одинакового гомотопического типа. Напомним, что отображение получается в результате последовательного выполнения двух отображений сначала а затем

На рис. 103 это проиллюстрировано в соответствии с определением гомотопных отображений. Здесь -непрерывное

отображение в причем на совпадает с отображением а на с

В проблеме гомотопической эквивалентности топологических пространств можно использовать упоминавшиеся ранее группы гомологий и фундаментальные группы, которые являются гомотопическими инвариантами.

Рис. 103

Следовательно, аналогично тому, как это было с топологическим отображением, можно сказать, что если фундаментальные группы или группы гомологий пространств различны, то гомотогшчески не эквивалентны. Если между имеется топологическое соответствие то с его помощью легко установить гомотопическую эквивалентность

Таким образом, гомеоморфные пространства гомотопически эквивалентны. Обратно, треугольник и прямолинейный отрезок хотя и гомотопически эквивалентны, однако не гомеоморфны.

Размерность пространства есть топологический инвариант, поэтому пространства разной размерности топологически не эквивалентны. Однако размерность не является гомотопическим инвариантом. В связи с этим гомотопическая классификация по сравнению с топологической классификацией геометрических фигур является более грубой и примитивной. И если отсутствуют Признаки гомотопической эквивалентности, то, естественно, не может быть и речи о топологическом соответствии.

На рис. 104 схематично показано, что в пределах одного гомотопического класса располагается несколько различных топологических типов; это поясняется подписями к рисунку.

В заключение затронем вопрос о гомотопических группах.

В 1935 и 1936 годах в трудах Голландской академии наук Гуревич (1904—1956) опубликовал работы, в которых впервые ввел

Рис. 104

гомотопические группы топологического пространства и подчеркнул их принципиальное значение. Следует иметь в виду, что это размерность группы; при гомотопическая группа является фундаментальной группой. Гомотопические группы являются также гомотопическим инвариантом. В устройстве гомотопической группы находят отражение геометрические свойства фигур данного гомотопического типа.

Изучение гомотопических групп интенсивно продолжается и в настоящее время, весьма широко оно ведется и в Японии, но рассказать об этом здесь не представляется возможным.