§ 3. Проективные преобразования

Как и в аффинном случае, дадим вначале определение проективного преобразования на проективной плоскости Оно напоминает определение аффинного преобразования: взаимно однозначное отображение проективной плоскости на себя при котором любая прямая переходит в прямую, называют проективным преобразованием.

В действительности проективное преобразование обычно задается иначе. Проективная геометрия выросла из теории перспективы — системы методов построения перспективных

соответствий, т. е. того, чем занимаются, например, при топографических аэрофотосъемках.

Возьмем в евклидовом пространстве две плоскости а и а и некоторую точку О, не лежащую на этих плоскостях.

Рис. 31

Спроектируем из точки О фигуру в плоскости а (на рис. 3 ) на плоскость а и получим соответствующую фигуру (на рис. 31 ). Такое соответствие между точками двух фигур называют перспективным. Точку О называют центром проектирования. Записывается это соответствие символически так:

или

Это можно определить также следующим образом: проекция из фигуры расположенной на плоскости на плоскость есть

сечение Плоскостью а пучка прямых с центром в О и проходящих через точки фигуры Точно так же моно взять следующую плоскость и на нее спроектировать полученную фигуру вообще говоря, из другого центра О:

Как мы видим, перспективное соответствие представляет собой взаимно однозначное соответствие между точками фигур, разумеется, если плоскость на рис. 31 не занимает положение, параллельное какой-нибудь прямой из пучка. Но это особый случай, и мы пока оставляем его в стороне. Если вслед за одним построить другое перспективное соответствие, то получим также взаимно однозначное соответствие

Если осуществить последовательно, как говорят математики, суперпозищию перспективных соответствий конечное число раз а то точки плоскости а будут находиться во взаимно однозначном соответствии с точками плоскости Соответствие -являющееся суперпозицией конечного числа перспективных соответствий, называют проективным преобразованием и обозначают

В вышеприведенных определениях соответствий не используются такие понятия, как длина. Следовательно, определение такого соответствия допустимо и в аффинном пространстве. Но в аффинном пространстве имеется

параллелыкость, и операцию проектирования в нем определить в полной мере невозможно, там имеются исключительные случаи, когда прямая, проходящая через точку О, параллельна то одной, то другой плоскости: В проективном же пространстве не существует параллельности между прямой и плоскостью, эти особые случаи отсутствуют, и проективное соответствие строится автоматически. Тот факт, что мы, рассказывая о реальном мире при помощи проективных обр/азов, исходим из евклидовой плоскости, свидетельствует о том, что в основе геометрии ежит евклидово пространство.

Проективный способ перенесения фигур с плоскости а на плоскость а сохраняет их общую конструкцию. Та, прямая переносится как прямая, круг, поскольку длина меняется при этом соответствии, становится овалом. Сам объект перспективной съемки следует рассматривать в трехмерном проективном пространстве, которого мы до сих пор не касались.

Здесь есть большая аналогия с двумерной проективной плоскостью. Предполагается, что все параллельные между собой прямые в аффинном пространстве в/проективном пространстве пересекаются в одной бесконечно удаленной точке. Множество таких бесконечно удаленных точек образует бесконечно удаленную плоскость. Эта плоскость является частью проективного пространства и обращаются с не не как с беско нечно удаленной, а как с обькной плоскость. В проективном пространстве, таким образом, нет параллельных прямых, и любые две плоскости обязательно пересекутся по прямой. Далее, в случае, если

прямая не принадлежит плоскости, то она обязательно пересекается с ней в одной точке. По этой причине в проективном пространстве вышеприведенное определение проективного соответствия, естественно, в рассмотрении особых случаев не нуждается.

Сейчас мы выясним особенности проективного соответствия между прямыми на проективной плоскости.

Возьмем две прямые на проективной плоскости и точку которая не принадлежит ни прямой ни прямой Проведем через и каждую Точку А прямой I прямую, которая обязательно пересечет прямую в некоторой точке А (рис. 32). Поскольку на проективной плоскости любые две прямые обязательно пересекаются, то так устанавливаемое соответствие будет при каждой фиксированной точке взаимно однозначным соответствием между точками прямой I и точками прямой

Задание точки однозначно определяет

Рис. 32

это соответствие, которое называют перспективным соответствием с центром Символически это соответствие обозначим через

Аналогично можно построить перспективное соответствие прямой на какую-нибудь третью прямую из некоторого, вообще говоря, другого центра

Взаимно однозначное соответствие между точками прямых которое получается в результате последовательного выполнения сначала соответствия а затем называется проективным соответствием между . И вообще, проективным соответствием между прямыми называют суперпозицию любого конечного числа перспективных соответствий

Записывают перспективное соответствие так:

Перспективное соответствие является частным случаем проективного соответствия. Особого внимания заслуживает случай когда мы имеем проективное преобразование прямой в себя

Проективное преобразование прямой в себя — это не просто взаимно однозначное

соответствие; оно обладает рядом характерных особенностей. Правда, одно и то же проективное преобразование можно задать в виде суперпозиции перспективных соответствий многими способами.

Сейчас на примере нескольких теорем постараемся проиллюстрировать особенности проективных соответствий.

Теорема 1. Пусть произвольные прямые, и — произвольные две тройки точек на них. Тогда существует такое проективное соответствие, что

Доказательство. Пусть точка пересечения прямых и точка пересечения и (рис. 33). Проведем через точки прямую и обозначим через точку пересечения с прямой Тогда

Таким образом, искомое проективное

Рис. 33

соответствие получается в итоге двух перспективных соответствий.

Доказательство, как мы видим, сводится к подбору двух перспективных соответствий специального вида. И на первый взгляд не исключено, что, подобрав другие перспективные соответствия, можно получить другое проективное соответствие, удовлетворяющее тем же условиям теоремы. Другими словами, можно предположить, что найдутся проективные соответствия и такая точка X на прямой что

где

Заметим, условие указывает на различие проективных соответствий .

Основная теорема проективной геометрии утверждает, что в формуле (1) для любой точки X ее образы совпадают, т. е. проективное соответствие, при котором три заданные точки прямой I переходят в три заданные точки прямой единственно.

Следующее утверждение является, очевидно, частным случаем основной теоремы.

Если при проективном преобразовании прямой на себя три точки остаются на месте

то -тождественное преобразование (каждая точка X прямой I переходит в себя).

С другой стороны, из этого специального случая очень легко вывести основную теорему в общем виде. То есть основная теорема и ее

специальный случай равноценны, и поэтому в курсах проективной геометрии часто такую специальную формулировку представляют как основную теорему.

Ниже мы должны были бы приступить к доказательству основной теоремы, однако это непросто. В любой книге о проективной геометрии можно найти доказательство этой теоремы, и мы здесь его приводить не будем. Изложению основной теоремы обычно предшествует важная теорема, принадлежащая основоположнику проективной геометрии Дезаргу.

Теорема Дезарга. Если прямые соединяющие соответствующие вершины двух треугольников и пересекаются в одной точке О, то точки пересечения соответствующих сторон и и и расположены на одной прямой.

Хотя формулировка этой теоремы длинновата, смысл ее простой. Многие читали о теореме Дезарга в книгах по евклидовой геометрии. Это не очень естественно, поскольку на евклидовой плоскости есть параллельные

Рис. 34

прямые и в связи с этим необходимо учитывать специальные случаи, когда прямые, скажем, и на приведенном рисунке параллельны и, следовательно, не имеют точки пересечения.

Расскажем теперь о проективных отображениях не только прямых, но и плоскостей.

Преобразование плоскости в себя называется коллинеацией, если коллинеарные, т. е. лежащие на одной прямой, точки переходят в коллинеарные же точки. Коллинеация плоскости называется перспективной, если все точки некоторой прямой I на плоскости остаются неподвижными, а все прямые, проходящие через точку О,— инвариантными (при этом допускается перемещение точек вдоль самой прямой). Прямую называют осью, а точку О — центром перспективной коллинеации.

Рис. 35

При перспективной коллинеации различают два случая: первый, когда центр О находится вне прямой и второй, когда он принадлежит прямой . В первом случае коллинеацию называют гомологией, во втором — особой гомологией.

Перспективная коллинеация вполне задана, если указаны ее центр О, ось I и образ какой-нибудь точки А. Действительно, возьмем произвольную прямую проходящую через А (рис. 35). Прямая пересекается с осью в точке С. Так как а образ задан, то тем самым предопределены и прямая проходящая через точки и отображение которое является перспективным соответствием с центром в О.

Такого рода рассуждения характерны для синтетического метода в проективной геометрии. Рис. 35 прост и понятен, однако, хотя метод проектирования и сечений сам по себе лаконичен, в теоремах, где теорема Дезарга применяется несколько раз, чертежи довольно сложны. Проективную коллинеацию плоскости можно определить как суперпозицию конечного числа перспективных коллинеаций.

Сформулируем теперь основную теорему для проективной плоскости.

Пусть точки проективной плоскости в общем положении (т. е. не лежат на одной прямой). Всякое проективное преобразование плоскости, оставляющее их неподвижными, оставляет и все остальные точки плоскости на месте, другими словами, является тождественным преобразованием.

Действительно, поскольку при таком проективном преобразовании точки прямой неподвижны,

то прямая переходит в себя (рис. 36). Прямая по этой же причине опять же переходит в себя. Следовательно, точка пересечения прямых и остается на месте. Таким образом, если на прямой три точки — при данном проективном преобразовании неподвижны, то по основной теореме для прямой прямая тождественно отображается на себя.

Рис. 36

Отсюда уже легко получить неподвижность при указанном проективном соответствии любой точки плоскости.

Заметим, что эту теорему называют основной, потому что хотят этим подчеркнуть ее решающую роль в вещественной проективной геометрии. Используя основную теорему, можно, введя так называемую систему проективных координат, построить аналитическую проективную геометрию.

Принцип двойственности в проективной геометрии. При рассмотрении роли точек и прямых можно заметить, что на проективной плоскости в отличие от аффинной геометрии имеет место принцип двойственности.

Рассмотрим две аксиомы проективной плоскости:

две точки определяют прямую (через две точки проходит единственная прямая);

две прямые определяют точку (две прямые пересекаются в единственной точке).

Если в одной из этих аксиом заменить слова точка на прямую и прямая на точку, а проходить на пересекать, то она (аксиома) переходит в другую аксиому. Поскольку в геометрии все выводится из аксиом, а в число аксиом проективной геометрии включены суждения, получающиеся друг из друга в результате такой замены, то все теоремы этой геометрии также должны допускать двойственную замену терминов. Иначе говоря, принцип двойственности состоит в том, что если удалось доказать какую-то теорему, то это означает, что утверждение, порожденное указанной заменой слов, также справедливо. Рассмотрим, например, теорему Дезарга.

Возьмем треугольник т. е. три точки не лежащие на одной прямой, и прямые, соединяющие эти точки попарно.

Определение двойственной треугольнику фигуры — трехсторонника — получается из

Рис. 37

первого заменой слов точка — прямая, прямая — точка с соответствующей заменой соединяет — пересекает. Другими словами, берутся три прямые , не проходящие через одну точку, которые попарно пересекаются между собой в трех точках Подобным же образом можно определить двойственные четырехугольникам, пятиугольникам соответственно четырехсторонники, пятисторонники

Вспомним теорему Дезарга: если для треугольников и три прямые, соединяющие попарно две соответствующие точки и пересекаются в одной точке О, то три точки — точка пересечения соответствующих сторон и точка пересечения и и точка пересечения лежат на одной прямой (рис. 38).

Рис. 38

Двойственное к теореме Дезарга утверждение гласит: если в двух трехсторонниках точки попарных пересечений соответствующих сторон с и с лежат на одной прямой, то три прямые соединяющие соответственные вершины трехсторонников, сходятся в одной точке.

Это двойственное положение уже не нуждается в доказательстве. Легко видеть, что это утверждение является обратным к теореме Дезарга.

В проективном пространстве принцип двойственности проявляется в том смысле, что каждая аксиома проективной геометрии пространства допускает трансформацию путем замены слов точка — прямая — плоскость на плоскость — прямая — точка и проходить — пересекать на пересекать — проходить.

На аффинной плоскости две прямые, если они параллельны, не пересекаются, хотя, с друго стороны, две точки всегда определяют прямую. Поэтому в аффинном случае принцип двойственности не имеет места.

Кривые второго порядка и пучки второго класса. Рассказ о кривых второго порядка мы свяжем с программой Клейна.

Кривые второго порядка на евклидовой плоскости — это эллипс, гипербола, парабола, распадающаяся пара прямых — представляют собой геометрическое место решений квадратного уравнения

На проективной плоскости, введя систему координат, также можно определить местоположение решений квадратного уравнения. Но установить эквивалентность кривых второго

порядка можно не прибегая к координатам, чисто синтетически.

Линия первогф порядка — это прямолинейный ряд точек. Двойственная прямолинейному ряду точек фигура является пучком прямых, проходящих через одну точку (пучок 1-го класса).

Пучок прямых с центром в точке О обозначим символом — Возьмем два пучка проективных прямых — и произвольную прямую не проходящую через центры

Рис. 39

Так как в каждой точке А прямой пересекается пара прямых из этих пучков, то получаем взаимно однозначное соответствие между прямыми пучков , которое называется перспективным соответствием между пучками, а прямая является осью перспективного соответствия. Символически это выражается следующим образом:

Определение перспективного соответствия между пучками, таким образом, двойственно

перспективному соответствию прямолинейных рядов. Результат неоднократного рыполнения перспективных соответствий называют проективным соответствием между пучками и записывают следующим образом:

Пусть взятое проективное соответствие. В том случае множество точек пересечения (соответствующих прямых

будет представлять собой кривую второго порядка. В частности, когда перспективное соответствие, то точки пересечения выстраиваются на прямой, являющейся осью перспективы. Разумеется, эта прямая как кривая второго порядка нетипична. Однако в общем случае проективного соответствия

Рис. 40

множество точек представляет собой типичную кривую второго порядка (рис. 40).

Данная кривая второго порядка при введении координат, как можно доказать, превращается в фигуру, состоящую из точек, координаты которых удовлетворяют квадратному уравнению.

Изучению свойств кривых второго порядка было посвящено исследование Паскаля. Как известно, на евклидовой и аффинной плоскости имеются три типичных вида кривых второго порядка — эллипс, гипербола, парабола. На проективной же плоскости различия между ними нет.

Рис. 41

Кривая второго порядка на проективной плоскости всегда является замкнутой линией. Посмотрим, как этот вид проективной кривой второго порядка в аффинной геометрии распадается на три различных типа. Действительно, на проективной плоскости любая прямая может быть принята за бесконечно удаленную прямую которая

исключается из аффинной плоскости. Поэтому в случае, указанном на рис. 41 (слева), когда пересекает кривую, получаются разорванные ветви — это соответствует гиперболе. Когда прямая является касательной, то замкнутая кривая разрывается в одной точке и ее концы уходят в бесконечность — это парабола. Если же не задевает кривой второго порядка — это эллипс.

Связь с аффинными преобразованиями. Некоторую прямую на проективной плоскости а примем за бесконечно удаленную прямую Как уже говорилось, множество совпадает с аффинной плоскостью. Если на плоскости а взять преобразование, при котором прямая отображается в себя, то оно является аффинным преобразованием аффинной плоскости

Рассмотрим в качестве примера проективного преобразования перспективную коллинеацию с центром О, лежащим на оси Точки любой йроходящей через О прямой перемещаются при этом по ней самой же. Исключим тогда прямые,

Рис. 42

пересекающиеся в точке О прямой (бесконечно удаленней точке) на аффинной плоскости а модду собой параллельны. Этому специальному случаю проективного преобразования на прективной плоскости соответствует параллельный перенос на аффинной плоскости.

Как уже говорилось, при аффинных преобразованиях параллельные прямые переходят в параллельные.

Рис. 43

Это условие можно получить исходя из того, что аффинное преобразование определяется на базе проективного, относительно которого прямая инвариантна. В самом деле, точка А прямой переходит в точку В на Следовательно, проективные прямые, проходящие через точку А (на аффинной плоскости эти прямые параллельны), переходят в прямые, проходящие через В (также параллельные прямые).

Таким образом, если ограничиться рассмотрением только тех проективных преобразований, относительно которых фиксирования прямая инвариантна, то мы получим класс аффинных преобразований. В этом смыае множество всех аффинных преобразована является подмножеством, т. е. частью множества всех проективных преобразований.

Это важное положение можно представиъ в виде диаграммы:

(см. скан)

Здесь уместно вспомнить, что движения — это те из аффинных преобразований, которые сохраняют расстояния. Поэтому множестве всех движений является подмножеством множества всех аффинных преобразований, что и отражено на этой диаграмме.

Это положение является одной из причин того, почему евклидову и аффинную геометри можно считать как бы подвидами проектив ной геометрии, т. е. в некотором смысле про ективная геометрия — это вся геометрия.