Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 3. Проективные преобразованияКак и в аффинном случае, дадим вначале определение проективного преобразования на проективной плоскости В действительности проективное преобразование обычно задается иначе. Проективная геометрия выросла из теории перспективы — системы методов построения перспективных соответствий, т. е. того, чем занимаются, например, при топографических аэрофотосъемках. Возьмем в евклидовом пространстве
Рис. 31 Спроектируем из точки О фигуру в плоскости а (на рис. 3
или
Это можно определить также следующим образом: проекция из сечение Плоскостью а пучка прямых с центром в О и проходящих через точки фигуры
Как мы видим, перспективное соответствие представляет собой взаимно однозначное соответствие между точками фигур, разумеется, если плоскость
Если осуществить последовательно, как говорят математики, суперпозищию перспективных соответствий конечное число раз а В вышеприведенных определениях соответствий не используются такие понятия, как длина. Следовательно, определение такого соответствия допустимо и в аффинном пространстве. Но в аффинном пространстве имеется параллелыкость, и операцию проектирования в нем определить в полной мере невозможно, там имеются исключительные случаи, когда прямая, проходящая через точку О, параллельна то одной, то другой плоскости: В проективном же пространстве не существует параллельности между прямой и плоскостью, эти особые случаи отсутствуют, и проективное соответствие строится автоматически. Тот факт, что мы, рассказывая о реальном мире при помощи проективных обр/азов, исходим из евклидовой плоскости, свидетельствует о том, что в основе геометрии ежит евклидово пространство. Проективный способ перенесения фигур с плоскости а на плоскость а сохраняет их общую конструкцию. Та, прямая переносится как прямая, круг, поскольку длина меняется при этом соответствии, становится овалом. Сам объект перспективной съемки следует рассматривать в трехмерном проективном пространстве, которого мы до сих пор не касались. Здесь есть большая аналогия с двумерной проективной плоскостью. Предполагается, что все параллельные между собой прямые в аффинном пространстве в/проективном пространстве пересекаются в одной бесконечно удаленной точке. Множество таких бесконечно удаленных точек образует бесконечно удаленную плоскость. Эта плоскость является частью проективного пространства и обращаются с не не как с беско нечно удаленной, а как с обькной плоскость. В проективном пространстве, таким образом, нет параллельных прямых, и любые две плоскости обязательно пересекутся по прямой. Далее, в случае, если прямая не принадлежит плоскости, то она обязательно пересекается с ней в одной точке. По этой причине в проективном пространстве вышеприведенное определение проективного соответствия, естественно, в рассмотрении особых случаев не нуждается. Сейчас мы выясним особенности проективного соответствия между прямыми на проективной плоскости. Возьмем две прямые Задание точки
Рис. 32 это соответствие, которое называют перспективным соответствием с центром
Аналогично можно построить перспективное соответствие прямой
Взаимно однозначное соответствие между точками прямых
Записывают перспективное соответствие так:
Перспективное соответствие
Проективное преобразование прямой в себя — это не просто взаимно однозначное соответствие; оно обладает рядом характерных особенностей. Правда, одно и то же проективное преобразование можно задать в виде суперпозиции перспективных соответствий многими способами. Сейчас на примере нескольких теорем Теорема 1. Пусть
Доказательство. Пусть
Таким образом, искомое проективное
Рис. 33 соответствие Доказательство, как мы видим, сводится к подбору двух перспективных соответствий специального вида. И на первый взгляд не исключено, что, подобрав другие перспективные соответствия, можно получить другое проективное соответствие, удовлетворяющее тем же условиям теоремы. Другими словами, можно предположить, что найдутся проективные соответствия
где Заметим, условие Основная теорема проективной геометрии утверждает, что в формуле (1) для любой точки X ее образы Следующее утверждение является, очевидно, частным случаем основной теоремы. Если при проективном преобразовании
то С другой стороны, из этого специального случая очень легко вывести основную теорему в общем виде. То есть основная теорема и ее специальный случай равноценны, и поэтому в курсах проективной геометрии часто такую специальную формулировку представляют как основную теорему. Ниже мы должны были бы приступить к доказательству основной теоремы, однако это непросто. В любой книге о проективной геометрии можно найти доказательство этой теоремы, и мы здесь его приводить не будем. Изложению основной теоремы обычно предшествует важная теорема, принадлежащая основоположнику проективной геометрии Дезаргу. Теорема Дезарга. Если прямые Хотя формулировка этой теоремы длинновата, смысл ее простой. Многие читали о теореме Дезарга в книгах по евклидовой геометрии. Это не очень естественно, поскольку на евклидовой плоскости есть параллельные
Рис. 34 прямые и в связи с этим необходимо учитывать специальные случаи, когда прямые, скажем, Расскажем теперь о проективных отображениях не только прямых, но и плоскостей. Преобразование плоскости в себя называется коллинеацией, если коллинеарные, т. е. лежащие на одной прямой, точки переходят в коллинеарные же точки. Коллинеация плоскости называется перспективной, если все точки некоторой прямой I на плоскости остаются неподвижными, а все прямые, проходящие через точку О,— инвариантными (при этом допускается перемещение точек вдоль самой прямой). Прямую
Рис. 35 При перспективной коллинеации различают два случая: первый, когда центр О находится вне прямой Перспективная коллинеация Такого рода рассуждения характерны для синтетического метода в проективной геометрии. Рис. 35 прост и понятен, однако, хотя метод проектирования и сечений сам по себе лаконичен, в теоремах, где теорема Дезарга применяется несколько раз, чертежи довольно сложны. Проективную коллинеацию плоскости можно определить как суперпозицию конечного числа перспективных коллинеаций. Сформулируем теперь основную теорему для проективной плоскости. Пусть Действительно, поскольку при таком проективном преобразовании точки то прямая
Рис. 36 Отсюда уже легко получить неподвижность при указанном проективном соответствии любой точки плоскости. Заметим, что эту теорему называют основной, потому что хотят этим подчеркнуть ее решающую роль в вещественной проективной геометрии. Используя основную теорему, можно, введя так называемую систему проективных координат, построить аналитическую проективную геометрию. Принцип двойственности в проективной геометрии. При рассмотрении роли точек и прямых можно заметить, что на проективной плоскости в отличие от аффинной геометрии имеет место принцип двойственности. Рассмотрим две аксиомы проективной плоскости: две точки определяют прямую (через две точки проходит единственная прямая); две прямые определяют точку (две прямые пересекаются в единственной точке). Если в одной из этих аксиом заменить слова точка на прямую и прямая на точку, а проходить на пересекать, то она (аксиома) переходит в другую аксиому. Поскольку в геометрии все выводится из аксиом, а в число аксиом проективной геометрии включены суждения, получающиеся друг из друга в результате такой замены, то все теоремы этой геометрии также должны допускать двойственную замену терминов. Иначе говоря, принцип двойственности состоит в том, что если удалось доказать какую-то теорему, то это означает, что утверждение, порожденное указанной заменой слов, также справедливо. Рассмотрим, например, теорему Дезарга. Возьмем треугольник Определение двойственной треугольнику фигуры — трехсторонника — получается из
Рис. 37 первого заменой слов точка — прямая, прямая — точка с соответствующей заменой соединяет — пересекает. Другими словами, берутся три прямые Вспомним теорему Дезарга: если для треугольников
Рис. 38 Двойственное к теореме Дезарга утверждение гласит: если в двух трехсторонниках Это двойственное положение уже не нуждается в доказательстве. Легко видеть, что это утверждение является обратным к теореме Дезарга. В проективном пространстве принцип двойственности проявляется в том смысле, что каждая аксиома проективной геометрии пространства допускает трансформацию путем замены слов точка — прямая — плоскость на плоскость — прямая — точка и проходить — пересекать на пересекать — проходить. На аффинной плоскости две прямые, если они параллельны, не пересекаются, хотя, с друго стороны, две точки всегда определяют прямую. Поэтому в аффинном случае принцип двойственности не имеет места. Кривые второго порядка и пучки второго класса. Рассказ о кривых второго порядка мы свяжем с программой Клейна. Кривые второго порядка на евклидовой плоскости — это эллипс, гипербола, парабола, распадающаяся пара прямых — представляют собой геометрическое место решений квадратного уравнения
На проективной плоскости, введя систему координат, также можно определить местоположение решений квадратного уравнения. Но установить эквивалентность кривых второго порядка можно Линия первогф порядка — это прямолинейный ряд точек. Двойственная прямолинейному ряду точек фигура является пучком прямых, проходящих через одну точку (пучок 1-го класса). Пучок прямых с центром в точке О обозначим символом —
Рис. 39 Так как в каждой точке А прямой
Определение перспективного соответствия между пучками, таким образом, двойственно перспективному соответствию прямолинейных рядов. Результат неоднократного рыполнения перспективных соответствий называют проективным соответствием между пучками и записывают следующим образом:
Пусть
будет представлять собой кривую второго порядка. В частности, когда
Рис. 40 множество точек Данная кривая второго порядка при введении координат, как можно доказать, превращается в фигуру, состоящую из точек, координаты которых удовлетворяют квадратному уравнению. Изучению свойств кривых второго порядка было посвящено исследование
Рис. 41 Кривая второго порядка на проективной плоскости всегда является замкнутой линией. Посмотрим, как этот вид проективной кривой второго порядка в аффинной геометрии распадается на три различных типа. Действительно, на проективной плоскости любая прямая может быть принята за бесконечно удаленную прямую исключается из аффинной плоскости. Поэтому в случае, указанном на рис. 41 (слева), когда Связь с аффинными преобразованиями. Некоторую прямую на проективной плоскости а примем за бесконечно удаленную прямую Рассмотрим в качестве примера проективного преобразования перспективную коллинеацию с центром О, лежащим на оси
Рис. 42 пересекающиеся в точке О прямой Как уже говорилось, при аффинных преобразованиях параллельные прямые переходят в параллельные.
Рис. 43 Это условие можно получить исходя из того, что аффинное преобразование определяется на базе проективного, относительно которого прямая Таким образом, если ограничиться рассмотрением только тех проективных преобразований, относительно которых фиксирования прямая инвариантна, то мы получим класс аффинных преобразований. В этом смыае множество всех аффинных преобразована является подмножеством, т. е. частью множества всех проективных преобразований. Это важное положение можно представиъ в виде диаграммы: (см. скан) Здесь уместно вспомнить, что движения — это те из аффинных преобразований, которые сохраняют расстояния. Поэтому множестве всех движений является подмножеством множества всех аффинных преобразований, что и отражено на этой диаграмме. Это положение является одной из причин того, почему евклидову и аффинную геометри можно считать как бы подвидами проектив ной геометрии, т. е. в некотором смысле про ективная геометрия — это вся геометрия.
|
1 |
Оглавление
|