Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 1. Бесконечно удаленные точкиПрежде всего отметим, что проективная плоскость в отличие от евклидовой плоскости не имеет бесконечной протяженности. Давайте выясним, в чем же различие между ними, а с другой стороны, как они между собой связаны? Для этого давайте уточним, какие положения евклидовой плоскости используются в проективной геометрии. В основе проективной геометрии лежит своя система аксиом. И хотя логические построения на аксиоматическом фундаменте являются замечательной иллюстрацией математического метода, однако, будучи при этом оторванным от евклидовой геометрии, такое изложение проективной геометрии излишне абстрактно. Поэтому для большей конкретности и наглядности целесообразно исходить из модели евклидовой плоскости. Известно, что прямая на евклидовой плоскости продолжается в обе стороны бесконечно и что между точками прямой и всеми действительными числами можно установить взаимно однозначное соответствие, при котором естественной упорядоченности точек на прямой отвечает упорядоченность чисел но их величине. Дополним теперь прямую «слева и справа» одной и той же условной точкой Понятно, что возникает сомнение — а можно ли говорить о реальности несуществующих точек? Однако в современных теориях это встречается часто. Так, например, хотя среди действительных чисел нет бесконечно больших чисел, в математическом анализе применяется символ Две пересекающиеся на евклидовой плоскости прямые пересекаются в обычной точке, причем бесконечно удаленные точки этих прямых не совпадают. Следовательно, в этой новой геометрии параллельных прямых не существует, каждые две прямые обязательно
Рис. 26 пересекаются в одной точке. Семейство параллельных между собой в обычной геометрии прямых имеет одну общую бесконечно удаленную точку, разнонаправленные же прямые имеют разные бесконечно удаленные точки. В связи с этим бесконечно удаленных точек бесконечно много. Множество этих бесконечно удаленных точек, опять-таки по определению, составляет одну так называемую бесконечно удаленную прямую
Рис. 27 Таким образом мы получаем геометрию, в которой к евклидовой плоскости По существу, эта геометрия пока не очень отличается от евклидовой геометрии. Вместо положения о параллельности двух прямых вводится положение об их пересечении в бесконечно удаленной точке. Основные аксиомы, принятые в проективной геометрии, утверждают, что две точки определяют одну прямую (если обе точки — бесконечно удаленные, то они определяют бесконечно удаленную прямую некоторые точки в одну бесконечно удаленную прямую, мы практически не меняем сути евклидовой геометрии и не привносим в геометрию ничего нового.
|
1 |
Оглавление
|