§ 2. Проективная геометрия

Важнейший шаг в становлении проективной геометрии был сделан тогда, когда бесконечно удаленную прямую уравняли в правах с обычной прямой и термин «бесконечно удаленная прямая» тем самым оказался ненужным. А это было равносильно принятию двух вышеупомянутых основных аксиом об отношениях между точками и прямыми.

Итак, в проективной геометрии бесконечно удаленная точка не является чем-то особенным: с ней обращаются как с обычной точкой. Далее, поскольку не существует параллельных Прямых, проективная геометрия представляет собой логическую систему, принципиально отличную от аффинной геометрии.

Между проективной плоскостью где бесконечно удаленная прямая не отличается от обычной прямой, и аффинной плоскостью существует связь, правда, несколько абстрактного характера.

Возьмем для этого на проективной плоскости какую-нибудь прямую в качестве бесконечно удаленной прямой Пусть она в точке пересекается с прямыми Так как единственная точка пересечения, притом бесконечно удаленная, то прямые если рассматривать их на аффинной плоскости, параллельны.

Если из проективной плоскости исключить бесконечно удаленную прямую, то оставшееся множество точек является аффинной плоскостью.

Возьмем прямую а на рис. 28. Она неограниченно продолжается в обе стороны от точки вернувшись из бесконечности, замыкается. То же самое происходит и с прямой . И тем не менее прямые пересекаются лишь в единственной точке

Рис. 28

Если бы они пересекались еще в одной точке то, так как две точки определяют единственную прямую, отсюда следовало бы, что т. е. получилось бы противоречие.

Наглядно трудно представить себе странное поведение прямых на проективной плоскости. Это связано с тем, что проективная и аффинная плоскости отличаются друг от друга по своей структуре настолько, что проективную плоскость нельзя адекватно изобразить в евклидовом пространстве. В связи с

этим мы рассмотрим здесь одну модель проективной плоскости, на которой можно провести некоторые аналогии.

В евклидовом пространстве возьмем сферическую поверхность с центром О. Интерпретируем эту сферическую поверхность как плоскость, на которой условливаются в качестве прямых рассматривать большие окружности (большая окружность — это окружность, по которой сфера пересекается с плоскостью, проходящей через центр О). Все это из области сферической геометрии.

Рис. 29

Предвижу недоумение: как же так, большая окружность изгибается и вдруг прямая? То, что окружность изогнута, так это верно с точки зрения геометрии евклидова пространства, в котором расположена сфера. С точки же зрения сферической геометрии такую окружность вполне можно рассматривать как прямую.

В сферической геометрии отношения между точками и прямыми удовлетворяют следующим свойствам.

Свойство 1. Две точки определяют

единственную прямую, за исключением того случая, когда эти точки антиподальные, т. е. диаметрально противоположные.

Свойство 2. Любые две прямые пересекаются в двух точках (антиподальные точки).

Все прямые замкнутые, длина их равна радиус сферы). Величина угла между прямыми определяется как величина, угла между пересекающимися кривыми в евклидовом пространстве. В сферической геометрии сумма внутренних углов треугольника больше двух прямых углов. Это наиболее известное свойство сферического треугольника.

Давайте отождествим на сфере антиподальные точки так, как, например, на рис. 29 точки При таком отождествлении точек свойства 1 и 2 изменяются надлежащим образом в те, что приняты в качестве основных положений, определяющих структуру проективной плоскости.

Свойство 1. Две точки определяют одну-единственную прямую.

Свойство 2. Любые две прямые пересекаются в одной точке.

Поскольку точки-антиподы отождествлены между собой, то для модели проективной плоскости нижняя полусфера не нужна.

Рис. 11

Как видно из рис. 30, вполне достаточно точки X на верхней полусфере, а точка X не нужна. Однако на окружности разреза имеются также точки-антиподы и Построение модели проективной плоскости завершается тогда, когда точки полуокружности мы отождествим с их антиподами на полуокружности Однако эту модель проективной плоскости, которая является, кстати, очень интересной с топологической точки зрения поверхностью, расположить без самопересечений в обычном пространстве невозможно. Ниже мы остановимся на этом подробней.

Модель проективной плоскости наряду с понятием проективного преобразования играет фундаментальную роль в изучении свойств проективной геометрии.