Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 2. Проективная геометрияВажнейший шаг в становлении проективной геометрии был сделан тогда, когда бесконечно удаленную прямую уравняли в правах с обычной прямой и термин «бесконечно удаленная прямая» тем самым оказался ненужным. А это было равносильно принятию двух вышеупомянутых основных аксиом об отношениях между точками и прямыми. Итак, в проективной геометрии бесконечно удаленная точка не является чем-то особенным: с ней обращаются как с обычной точкой. Далее, поскольку не существует параллельных Прямых, проективная геометрия представляет собой логическую систему, принципиально отличную от аффинной геометрии. Между проективной плоскостью Возьмем для этого на проективной плоскости какую-нибудь прямую в качестве бесконечно удаленной прямой Если из проективной плоскости исключить бесконечно удаленную прямую, то оставшееся множество точек является аффинной плоскостью. Возьмем прямую а на рис. 28. Она неограниченно продолжается в обе стороны от точки
Рис. 28 Если бы они пересекались еще в одной точке Наглядно трудно представить себе странное поведение прямых на проективной плоскости. Это связано с тем, что проективная и аффинная плоскости отличаются друг от друга по своей структуре настолько, что проективную плоскость нельзя адекватно изобразить в евклидовом пространстве. В связи с этим мы рассмотрим здесь одну модель проективной плоскости, на которой можно провести некоторые аналогии. В евклидовом пространстве
Рис. 29 Предвижу недоумение: как же так, большая окружность изгибается и вдруг прямая? То, что окружность изогнута, так это верно с точки зрения геометрии евклидова пространства, в котором расположена сфера. С точки же зрения сферической геометрии такую окружность вполне можно рассматривать как прямую. В сферической геометрии отношения между точками и прямыми удовлетворяют следующим свойствам. Свойство 1. Две точки определяют единственную прямую, за исключением того случая, когда эти точки антиподальные, т. е. диаметрально противоположные. Свойство 2. Любые две прямые пересекаются в двух точках (антиподальные точки). Все прямые замкнутые, длина их равна Давайте отождествим на сфере антиподальные точки так, как, например, на рис. 29 точки Свойство 1. Две точки определяют одну-единственную прямую. Свойство 2. Любые две прямые пересекаются в одной точке. Поскольку точки-антиподы отождествлены между собой, то для модели проективной плоскости
Рис. 11 Как видно из рис. 30, вполне достаточно точки X на верхней полусфере, а точка X не нужна. Однако на окружности разреза имеются также точки-антиподы Модель проективной плоскости наряду с понятием проективного преобразования играет фундаментальную роль в изучении свойств проективной геометрии.
|
1 |
Оглавление
|