11.6.3. Авторегрессивное моделирование для задачи спектрального анализа

Авторегрессивное моделирование широко используется в обработке речи, подводной акустики, сонарах, радарах и обработке сейсмических сигналов. Авторегрессивное моделирование эквивалентно одномерному случаю линейного прогнозирования исходов, методу максимальной энтропии и является особым случаем оптимального поиска по методу наименьших квадратов или винеровской фильтрации. Цель этого моделирования заключается в представлении временных последовательностей сигналов в виде малого числа параметров авторегрессии (чисто полярная модель), с помощью которых временные последовательности сигналов могли бы быть восстановлены с точностью, определяемой методом наименьших квадратов, при пропускании белого шума через модель. Пропускание временных последовательностей через обратный фильтр удалило бы, следовательно, информацию о самих временных последовательностях сигналов и оставило бы на выходе белый шум. Поэтому параметры авторегрессии содержат информацию, необходимую для вычислений спектра временных последовательностей сигнала, т. е. его цвет. Параметры авторегрессии можно также рассматривать как коэффициенты линейного прогнозирования исходов (ЛПИ) из-за того, что конечный импульсный отклик или «пересылка среднего», рассмотренные для фильтра с этими коэффициентами, позволяют предсказать следующие значения временной последовательности сигналов исходя из предыдущих значений. Вычитание предсказанных значений из имеющихся величин дает белый шум, как и в случае применения инверсного авторегрессивного фильтра. Коэффициенты ЛПИ, а именно позволяют предсказать значение временных последовательностей в момент времени на основании их предшествующих значений

и вычисляются при помощи минимизации выражения

В связи с этим уместно упомянуть три возможных практических применения. Например, в геофизике отраженные от земли сигналы рассматриваются как случайные. Измеренные датчиками на поверхности земли сигналы представляют свертку слабых волн, испускаемых от источника, и последовательности случайных сигналов, отражаемых от земли. Влияние источника слабых сигналов исключается из данных, снимаемых с датчиков, посредством обратного преобразования свертки от

прогнозируемых данных, т. е. в спектре сигналов исключается информация о цвете [40].

В случае обработки речи фрагмент речи, состоящий из 200 образцов, может быть представлен в виде коэффициентов ЛПИ (параметров авторегрессии), поскольку это число полюсов приемлемо для моделирования спектра и для распознавания указанного фрагмента. В этом случае уплотнение данных размерности 200 до 16 чисел позволяет в последующих стадиях провести быстрые вычисления. Обычно для меньших словарных запасов используется 10 коэффициентов ЛПИ.

Третий пример относится к определению спектра с помощью параметров авторегрессии и энергии с помощью выражения

При вычислении быстрого преобразования Фурье используют предположение о том, что за пределами измеренной области данные являются либо нулевыми, либо имеют повторяющиеся значения. В случае обработки коротких образцов данных это может приводить к зацикливанию вычислений. Избежать зацикливания удается путем вычисления спектра с помощью авторегрессионных моделей.

Ранее упомянутые подходы, такие, как авторегрессия, линейное прогнозирование исходов, метод максимальной энтропии, приводят к необходимости выполнения следующих шагов по определению параметров авторегрессии или ЛПИ. Для временных последовательностей вычисляют автокорреляционную функцию

Далее, для нахождения параметров авторегрессии или ЛПИ находят решения для с помощью уравнения

где — автокорреляционная матрица Теплица, образованная из Эта процедура обычно выполняется на последовательном процессоре, использующем алгоритм Левинсона или Левинсона—Дарбина. Для параллельной машины [41, 62] более подходящим является алгоритм Шура. Реализация алгоритма Левинсона на основе описанного в гл. 11 процессора описана в [43], а алгоритма Левинсона—Дарбина — в [44, 42]. В данном случае используется алгоритм Шура.

Матрицу представляют в виде произведения двух «треугольных» матриц (взятых сверху и снизу от диагонали)

Подстановка в уравнение (11.7) позволяет получить решение за два шага. Решение для получается из

и решение для а находят из

Автокорреляционная функция в уравнении (11.6) может быть вычислена с использованием древовидной структуры нахождения корреляционной функции, показанной на рис. 11.9, и системы, представленной на рис. 11.2. В этом случае данные вводятся в умножители (предполагают, что имеется достаточное число процессоров), и затем копия этих данных, задержанная на интервал времени, равный максимальной требуемой задержке, вводится начиная с вершины древовидной структуры. На каждом шаге корреляция выполняется с задержкой на один шаг, до тех пор пока задержанный поток данных точно не установлен по отношению к оригинальным данным. Это обеспечивает нулевое значение задержки коэффициента автокорреляции.

Коэффициенты автокорреляции вводятся в систолическую матрицу, показанную на рис. 11.10, по мере их вычисления. В этой матрице для вычисления параметров авторегрессии или ЛПИ временных последовательностей сигналов используется алгоритм Шура. Вычисляется верхняя «треугольная» матрица которая затем используется в нижней систолической матрице для вычислений . В то время как вычисляются , два верхних столбца процессора начинают вычисление соответствующего разложения для следующей временной последовательности сигналов.