5.1.3. Стандартная и нестандартная пороговые логики

Пороговая логика — это область, тесно связанная с операциями порогового кодирования и взвешивания в вычислениях. Эта область активно исследовалась в 1960-е и начале 1970-х гг. [9-11], но с тех пор и до настоящего времени [12] интерес к ней спал в основном ,потому, что общепринятой во всех чисто электронных ИС стала традиционная булева логика.

Пример стандартной, или построенной на линейных неравенствах пороговой логики наглядно показан на рис. 5.1. Здесь логическая функция (для которой дана таблица истинности) реализуется с помощью пороговых логических элементов, у которых — входные двоичные сигналы, у — двоичный выходной сигнал, знак обозначает операцию ИЛИ, подразумеваемое умножение является операцией И, а черта — операцией НЕ. Элемент умножает каждый двоичный входной сигнал на действительное число, являющееся весовым коэффициентом или

суммирует результаты и сравнивает их с пороговым действительным значением Т. Если сумма меньше порогового значения, то выходной сигнал равняется 0, в противном случае — 1. В приведенном примере следует обратить внимание на то, что единственный пороговый элемент реализует логическую функцию, которая потребовала бы нескольких обычных булевых вентилей и двух уровней логики , (трех уровней в том случае, если присутствует операция НЕ). Следует также заметить, что, во-первых, пороговый элемент будет правильно срабатывать в случае, если порог является любым числом, удовлетворяющим условию , во-вторых, если допустимое отклонение значения порога ограничено, тогда могут быть определены ненулевые допустимые отклонения весовых коэффициентов.

В общем пороговые логические элементы с линейными неравенствами имеют несколько двоичных входов, один двоичный выход и встроенное аналоговое устройство, пригодное для работы с оптикой (некоторые конструкции элементов допускают применение дискретных встроенных устройств [13] и несколько двоичных выходов [14]). Как показано на рис. 5.1, можно добиться, чтобы пороговый элемент работал корректно даже в случае отклонения значения порога и веса от номинальных величин, что возникает вследствие внешних условий, погрешностей при изготовлении прибора и т. д. Из таблицы истинности на рис. 5.1 видно, что соответствующие величины веса и порога могут быть получены путем решения системы линейных неравенств. Например, строка таблицы истинности требует, чтобы

Рис. 5.1. Пример порогового логического элемента, выполняющего функцию а — пороговый элемент; б — таблица истинности,

Обычно число неравенств превышает число неизвестных (в приведенном примере 16 неравенств, или строк таблицы истинности приходится на неизвестных и Г), однако решения будут существовать не всегда. Тем не менее существующие решения, определяющие максимальные допустимые отклонения различных порогов и весов, могут быть определены с помощью методов линейного программирования. Большинство ранних работ по пороговой логике было посвящено нахождению таких решений или их характеристик без явного применения методов линейного программирования, часто требующих проведения обширных вычислений. Совершенствование вычислительной техники и алгоритмов, однако, сделало использование линейного программирования для разработки пороговых логических элементов и схем более привлекательным [15].

Как показано выше, не все логические функции могут быть реализованы с помощью пороговых логических элементов с одним линейным неравенством; те из них, которые могут быть реализованы, называются пороговыми, или линейно-разделяемыми функциями. В целом существует логических функций двоичных переменных (каждая из входных строк таблицы истинности может иметь любой двоичный выход), но число пороговых функций обычно намного меньше — верхний предел их числа составляет Например, если полное число функций равняется 256, верхнее предельное значение составляет 170, а фактическое число функций оказывается равным Для (простейший случай) можно легко показать, что 14 из 16 возможных булевых логических вентилей с двумя входами, включая И и ИЛИ, могут быть реализованы с помощью единственного порогового элемента; таким образом, линейные неравенства пороговой логики можно рассматривать как более общий случай булевой логики. Поскольку любые комбинационные логические функции таблицей истинности из постоянных значений) можно реализовать на основе системы вентилей или элементов с не более чем двумя уровнями булевой логики (т. е. сигнал в системе не должен проходить более двух последовательно соединенных логических вентилей, исключая вентиль НЕ), то оказывается, что то же самое справедливо для пороговой логики. Однако (булевы логические схемы для сложных функций (например, -разрядный умножитель) обычно требуют более двух логических уровней, чтобы избежать соединений на одном и том же уровне неоправданно большого числа логических элементов [16]. Пороговая логика, в частности реализация пороговой логики в оптике, может смягчить эти требования. Данная характеристика и пример на рис. 5.1 показывают, что пороговая логика имеет потенциальные преимущества, обеспечивая

меньшее число логических уровней (что приводит ,к большему быстродействию), логических элементов (что уменьшает энергопотребление) и соединений (что уменьшает сложность системы)

Данные преимущества обычно сильнее выражены для более общих случаев нестандартных типов пороговой логики, или логик с нелинейными неравенствами. Элемент в подобной логической схеме производит сравнение пороговой величины с нелинейной функцией Двоичного входного сигнала, такой как квадратичный полином, коэффициенты которого рассматривают в качестве весовых коэффициентов [17]. Как утверждается в разд. 5.2, когерентные оптические системы реализуют нелинейную функцию пропорционально возведенной в квадрат сумме двоичных входных сигналов, умноженных на комплексные значения весовых множителей, где последние представляют амплитуды и фазы световой волны. С помощью исчерпывающего, но имеющего ограниченную точность численного расчета было показано, что число логических функций при двоичных переменных для случая одного порогового элемента с комплексными весами и как инвертированными, так и неинвертированными выходами составляет по меньшей мере 246 [18]. По сравнению такими/функциями, которые реализуются с помощью стандартной пороговой логики, это число показывает увеличение вычислительных возможностей одного из вариантов нестандартной пороговой логики. Некоторые архитектуры. Оптических вычислительных схем [4, 5, 19, 20] описываются с помощью общепринятых систем пороговой логики, а в случае использования на практике их рабочие характеристики могут быть улучшены. Например, если число разновидностей двоичных элементов, которые необходимо классифицировать по одному или двум признакам, составляет величину менее тогда хорошо известные адаптивные методы, основанные на алгоритме Видрова — Хоффа или на архитектуре персептрона, обычно могут идентифицировать линейноразделяемую функцию или отдельный стандартный пороговый элемент, выполняющий классификацию [10]. Однако при наличии возможности использования одиночного нелинейного порогового элемента (имеющего эффективное приложение в оптике) можйо надлежащим образом классифицировать более чем разновидностей элементов [21].