7.2.2. Оптические устройства, выполняющие свертку при операциях умножения

Алгоритм ЦУАС сказался особенно привлекательным для исследователей, работающих в области оптики, вследствие той простоты, с которой операция свертки может быть выполнена оптически. Цель данной главы заключается в том, чтобы указать различные пути выполнения алгоритма ЦУАС, удовлетворяющего потребностям оптических вычислений. Эти потребности включают высокую пропускную способность, возможности расширения до задач более высокого уровня, приборную совместимость. Последнее требование представляет собой запутанный вопрос и будет сделана попытка лишь обрисовать его в целом. Очевидно, что если данная методика не может быть реализована в реальном времени в надежном, воспроизводимом и предпочтительно недорогом устройстве, то нет смысла рассматривать возможности ее применения. С другой стороны, если методика «на бумаге» выглядит многообещающей, это поможет направить исследования на развитие подходящей технологии для ее практической реализации. В данной главе в качестве исходной будет принята позиция, согласно которой любое выполняющее свертку устройство может быть

реализовано с помощью только лишь фотографического транспаранта, используемого в качестве устройства обработки данных в реальном времени, так что возможные архитектуры будут обсуждаться безотносительно к предельным возможностям конкретных приборов. Таким образом, удается избежать морального устаревания информации и привязанности к одному конкретному устройству. В конце главы будут обсуждаться некоторые факторы, ограничивающие на практике возможности устройств и их влияние на развитие архитектур в будущем.

7.2.2.1. Операция свертки в области пространственных частот (фурье-свертка)

Имеются два способа выполнения операций свертки в оптике. Более общий метод состоит в выполнении свертки в фурье-плоскости. Преобразование Фурье одной функции осуществляется линзой, в то время как преобразование Фурье второй функции записано в голограмме. Для осуществления свертки выполняется обратное преобразование результата произведения фурье-образов. Используя эту методику, в [9] впервые была продемонстрирована работоспособность алгоритма двоичного ЦУАС.

Свертка, выполняемая в фурье-плоскости, демонстрирует многие из трудностей, присущих процессу нахождения удачного соотношения между конструкцией устройств и алгоритмами оптических вычислений. Сама по себе процедура выполнения ЦУАС для фурье-образов является крайне простой и быстрой. Стоит только расположить нужным образом входной пучок и голограмму, и операция свертки выполняется моментально. Существует ряд устройств, которые могли бы выполнять модуляцию входного сигнала с высокими скоростями (например, 10 МГц и более). Также существуют и фотодетекторы, обладающие таким же высоким быстродействием. Проблемы возникают с использованием голограмм. На момент написания данной книги не существует устройств, позволяющих производить электронную запись голограмм в реальном времени. Как будет пояснено ниже, из-за отсутствия таких голограмм теряется интерес к рассмотрению операций, выполняемых в фурье-плоскости, и больший интерес приобретают операции с временной и пространственной координатами. Но все же интересно чуть-чуть порассуждать о том, как происходила бы реализация операции свертки в плоскости фурье-преобразования, если бы существовало соответствующее устройство.

В данном случае рассмотрим случай умножения или в двоичной записи Результат умножения в двоичной записи со смешанным форматом выглядит так: Входной сигнал в нашем случае может быть

представлен двумя дельта-функциями (одна для столбца четверок и одна для столбца двоек), разнесенных одна от другой на расстояние а. Фактически имеется третья дельта-функция, представляющая столбец единиц, но ее весовой коэффициент равен 0. На практике функция в каждой точке имела бы конечную ширину, но этот случай здесь не рассматривается. Обозначая пространственную частоту для линзы с фокусным расстоянием F и длиной волны света А.), запишем соотношение между входным сигналом и плоскостью Фурье

Другими словами, фурье-плоскость состоит из набора плоских волн, углы распространения которых пропорциональны цифрам входного сигнала. При том же самом аргументе другое число представляется в фурье-плоскости выражением

Перемножая два выражения и проводя преобразования, получаем

Для интерпретации данного результата следует принять во внимание, что столбец единиц расположен теперь в точке —2а; столбец двоек в точке —а и т. д. до столбца, соответствующего разряду шестнадцать с координатой Видно, что при такой интерпретации результат составляет как и следовало ожидать.

Выполняя этот пример, можно дать иную интерпретацию методу выполнения свертки в фурье-плоскости и определить требования к приборному исполнению. Входной сигнал в плоскости Фурье, как упомянуто выше, состоит из плоских волн, направленных под разными углами. В фурье-плоскости имеется дифракционная решетка. В приведенном примере дифракционная решетка без изменений пропускает 50% света и отражает оставшиеся 50% на угол, описываемый величиной а. Другая линза собирает изменившие ранее свое направление световые лучи и направляет их на детектор. Теперь ясно, что не требуется взаимная когерентность источников входного сигнала; они должны быть только монохроматическими.

Среда для работающей в реальном времени голограммы должна обладать только способностью суммировать ограниченное число плоских волн. Можно представить, что акустооптическая ячейка могла бы обеспечить необходимую плотную дифракционную решетку. В данном случае, однако, не ставилась цель выполнить глубокую разработку конструкции, основываясь на приведенных соображениях, а скорее цель состояла в

том, чтобы проиллюстрировать необходимую степень взаимодействия между алгоритмами и технологией изготовления устройств. Алгоритмы должны реализовываться на доступных устройствах, но привлекательный алгоритм может явиться стимулом для развития подходящих устройств. Опыт, полученный на основе этих умозрительных экспериментов с конкретными алгоритмами и гипотетическим устройством, может быть использован для более детальной проработки реальных устройств.