6.3. Мультилинейные разделяющиеся функции

В предыдущем разделе обсуждался вопрос о том, что многозначные пороговые функции обладают двумя недостатками: их сравнительно небольшим числом и трудностью осуществления оптического порогового кодирования. Ниже описывается класс мультилинейных разделяющихся функций, которые являются намного более широким видом функций и включают в себя пороговые функции. Более того, по самому определению этих функций предполагается разная архитектура при их реализации, и это, как будет видно, дает подходящую возможность

Рис. 6.6. Четверичный пороговый -детектор, используемый в качестве четырехуровневого восстановителя постоянной составляющей.

использовать уже существующие электрооптические методы и устройства.

Определение 6.3 [13]

Функция являющаяся при этом пороговой, называется линейной разделяющейся функцией. Две функции являющиеся ЛР-функциями с одинаковыми весовыми коэффициентами, называются изобарическими функциями (или изобарами).

Определение

Мультимножество представляет собой набор элементов, возможно включающий в себя повторения этих элементов (в отличие от множества, представляющего набор различных элементов). Количеством элементов мультимножества (или мощность мультимножества) является полное число элементов в наборе.

Определение 6.5 [23]

Функция является мультилинейной разделяющейся если существует мультимножество где являющееся ЛР-функцией и такое что

МР-функция является монотонной мультилинейной разделяющейся (ММР), если для всех величин X в

Становится понятным, что, если все количество вспомогательных функций для ММР-функции являются изобарами, тогда является пороговой функцией.

С точки зрения геометрии функция является если существует множество необязательно параллельных -мерных гиперплоскостей, отделяющих от

Авторы [19] показали, что в троичной логике существует 703 двухместных ММР-функций и 532 485 трехместных ММР-функций; в четверичной логике существует 61 160 двухместных ММР-функций. Даже если эти результаты оценок, рассматриваемых лишь как часть полного числа таких функций соответствующих аргументов, все еще не имеют особого смысла, то все равно они показывают определенное улучшение ситуации по сравнению с соответствующим числом пороговых функций. В то время как имеющиеся данные, несомненно, слишком

Рис. 6.7. а — монотонная мультилинейная разделяющаяся функция; б - вариант немонотонного мультилинейного разделения функции, показанной на рис. 6.7, а; в — мультилинейная разделяющаяся функция (немонотонная).

ограничены для того, чтобы делать определенные выводы, все же можно предполагать, что по мере увеличения числа аргументов число ММР-функдий возрастает намного быстрее, чем число пороговых функций.

Проверка (на немонотонность) мультилинейной разделимости может потребовать очень больших затрат времени из-за возможности существования большого числа различных способов разделения функций (см., например, рис. 6.7, а,б). С другой стороны, проверка монотонности мультилинейных разделяющихся функций является простой и быстрой процедурой и пригодна к (частично) параллельной обработке. Тогда это обеспечивает эффективный метод проверки пороговой разделимости -значных функций [17, 19].

Лемма 6.6 [23]

Пусть будет ММР-функцией. Функции, полученные перестановкой или дополнением аргументов в , или дополнением также являются ММР-функциями.

Лемма 6.7

Пусть является ММР-функцией, где

Тогда также является ММР-функцией и

где т.е. является двоичным дополнением к

Доказательство: Умножим первое уравнение на и прибавим к обеим частям.

На рис. 6.7 показаны примеры и ММР-четвертичные функции.

Из определения 6.5 становится ясно, что реализация р-значных МР-функций (что включает пороговые функции) сводится к уровневым ЛР-функциям. Но ЛР-функции являются просто двоичными пороговыми функциями с -значными аргументами. Кроме того, двоичное пороговое кодирование имеет адекватную (электро) оптическую реализацию [4, 5]. Учет этих факторов приводит к выработке общей архитектуры МР-функций, показанной на рис. 6.8.

В данной архитектуре используются входные каскады схемы, включающие в себя двухканальных электрооптических волноводных модуляторов [5]. Любой х-сигнал должен быть подвергнут предварительной электронной обработке, чтобы получить требуемый коэффициент разветвления по выходу и правильное изменение масштаба, чтобы добиться совместимости с линейным динамическим диапазоном подсоединенных оптических устройств. Эти волноводы будут выдавать выходной световой сигнал с амплитудой, пропорциональной которая будет изменяться при введении в систему линз. Выходной световой сигнал линзы представляет собой Чтобы выполнить необходимое (двоичное) пороговое кодирование, предлагается использовать нелинейные оптические устройства [4]. Дополнительный входной сигнал будет необходим здесь для смещения сигнала взвешенной суммы, обеспечивая компенсационную точную настройку порогов и получение чистых логических 1 для всех X, где значения соответствующих являются истинными.

Нелинейные оптические устройства выдают на выход мультимножество функций которые будут складываться

Рис. 6.8. (см. скан) а — общая модель построения -значной МР-функции в виде суммы ЛР-функций общая схема реализации -значных МР-функций в электрооптических устройствах. — двухканальный электрооптический волноводный модулятор.

посредством последней из линз в схеме, чтобы получить интенсивность светового пучка, соответствующую

Двоичное пороговое кодирование может также выполняться электронным способом с использованием, например, фотодиода. Сигналы, содержащиеся теперь в виде электрического сигнала и представляющие вспомогательные функции могут суммироваться для представления в виде электрического

сигнала. Данный сигнал в свою очередь может быть использован для модуляции оконечного светового пучка с помощью другого волновода.