ВВЕДЕНИЕ

Эта брбшюра (называемая здесь ЭТОФ II) содержит введение в теорию обобщенных функций нескольких переменных. Случай одного переменного был предметом первого выпуска "Элементарной теории обобщенных функций" (называемого здесь ЭТОФ I). По педагогическим причинам мы советуем (особенно это касается начинающих) прочесть ЭТОФ I до ЭТОФ II. Однако изложение в ЭТОФ II полно и не предполагает никакого знакомства с ЭТОФ I.

Основная идея одинакова в обеих брошюрах, однако некоторые модификации, введенные в случае нескольких переменных, дают разительные преимущества. В ЭТОФ I обобщенные функции определялись, грубо говоря, как пределы последовательностей непрерывных функций. То же самое можно сделать и в случае нескольких переменных, однако это приводит к осложнениям, поскольку оказывается необходимым ввести дополнительное вспомогательное понятие обобщенной производной от непрерывной функции. Этого понятия можно избежать, пользуясь бесконечно дифференцируемыми функциями или полиномами. Полиномы, однако, не обладают свойством локальности, что — как мы проверили экспериментально — губит элегантность теории. Таким образом, мы остановились на бесконечно дифференцируемых функциях как на отправной точке рассматриваемой теории.

Другая модификация состоит в том, что в ЭТОФ I (всюду, кроме последнего параграфа) мы имели дело с обобщенными функциями конечного порядка, тогда как в ЭТОФ II это ограничение отброшено.

ЭТОФ II содержит теорию элементарных действий нал обобщенными функциями, таких, как сложение, умножение, дифференцирование и подстановка. Стоит отметить, что под? становка дана здесь при более общих условиях, чем в предшествующих работах. Остальные операции, такие, как интегрирование, свертка, преобразование Фурье, будут введены в ЭТОФ Ш. Сокращение "т. и т. т.“ означает "тогда и только тогда".