§ 22. Обобщенно сходящиеся последовательности гладких функций

Сначала мы докажем, что

22.1. Последовательность постоянных функций обобщенно сходится т. и т. т., когда она сходится в обычном смысле.

В самом деле, если постоянные функции сходятся в обычном смысле, то они сходятся равномерно, а значит, в силу 20.2 и обобщенно.

Обратно, предположим, что последовательность постоянных функций сходится обобщенно. Тогда эта последовательность ограничена, ибо если бы имело место противное, то существовала бы подпоследовательность такая, что сходилась бы в обычном смысле к нулю, и мы имели бы Предположим, что не сходится в обычном смысле. Тогда существуют две подпоследовательности, которые сходятся к различным пределам, а тогда эти подпоследовательности обобщенно сходятся к различным пределам, что противоречит 20.3.

22.2. Последовательность гладких функций является фундаментальной на О т. и т. т., когда для всякого интервала лежащего внутри О, существуют непрерывные функции и порядок такие, что на I

Действительно, если фундаментальна, то для каждого интервала лежащего внутри О, существуют гладкие функции и порядок такие, что на I

Поскольку гладкие функции непрерывны, условие теоремы удовлетворено.

Обратно, предположим, что (1) выполняется для всякого интервала лежащего внутри О, Пусть I фиксирован произвольно внутри О, — и пусть V — интервал, лежащий внутри О и содержащий I внутри себя. Тогда существуют функции и порядок такие, что соотношения (1) выполняются на Положим

где точка из некоторая дельта-последовательность (см. параграф 14). Тогда на для достаточно больших скажем Кроме того, согласно 14.1, мы имеем на при Пусть означает предел последовательности Поскольку существует последовательность целых положительных чисел такая, что

Очевидно, на таким образом, функции обладают требуемыми свойствами.

22.3 Последовательность гладких функций обобщенно сходится к обобщенной функции когда она является фундаментальной для

Действительно, если фундаментальная последовательность для то для любого интервала лежащего внутри О, существуют гладкие функции непрерывная функция и порядок такие, что

Первые два условие следуют из определения фундаментальных последовательностей. Третье — получается дифференцированием "А раз" равенства которое следует из первого условия. Поскольку гладкие функции непрерывны, соотношения (3) означают, что на О.

Обратно, если на О, то для любого интервала лежашего внутри О, существуют функции и порядок такие, что на

Таким образом, согласно 22.2, последовательность фундаментальна. Как мы только что доказали, всякая фундаментальная последовательность сходится к обобщенной функции, которую она представляет. Отсюда вытекает, что