§ 21. Сходимость и регулярные действия

Переход к пределу для обобщенных функций коммутирует со всеми, введенными до сих пор, регулярными действиями. Иными словами, справедливы следующие формулы:

В случае подстановки символ можно понимать в двух смыслах: как предел последовательности и как результат подстановки в обобщенную функцию Коммутативность перехода к пределу и подстановки означает, что значения этого символа в обоих смыслах совпадают. То же самое имеет место для сдвига.

Проверка коммутативности тривиальна для умножения на число, сложения, вычитания, сдвига, дифференцирования, умножения обобщенных функций с разделенными переменными и свертки с гладкой функцией, обращающейся в нуль вне некоторого интервала. Коммутативность перехода к пределу с умножением на гладкую функцию и с подстановкой вытекает из следующих двух более сильных теорем,

21.1. Если для любого порядка сходится почти равномерно и если то

Для всякого интервала лежащего внутри О, существуют непрерывные функции и порядок такие, что Таким образом, на Поскольку всякая равномерно сходящаяся последовательность является обобщено сходящейся, мы можем также написать

Аналогично имеем

Дифференцируя (4), получим

Отсюда в силу (5)

По индукции получаем

на Поскольку интервал произволен, формула (6) справедлива для всего множества О.

Другое доказательство предложения 21.1 вытекает из формулы

где Проверка этой формулы для гладких функций производится стандартно. Если фиксирована, то обе части этой формулы являются суперпозициями регулярных действий; таким образом,

формула остается справедливой, если заменить на любую обобщенную или непрерывную функцию. В частности имеем

откуда формула (6) следует для любого интервала лежащего внутри О, а значит, и для всего множества О.

21.2. Если для любого порядка сходится почти равномерно и обладают свойством (1) параграфа 10) и если то

Доказательство этого предложения будет основано на формуле (2) параграфа 10. В этой формуле фигурируют только регулярные действия, а потому она остается справедливой, если заменить на любую обобщенную функцию Таким образом,

Предположим, что определена на открытом множестве О и что значения лежат в открытом множестве О вещественных чисел у. (Предполагается, что обобщенная функция определена на О.) Пусть -любой интервал, лежащий внутри О. Функция отображает на некоторый интервал лежащий внутри О. Последовательность сходится к равномерно на Существует интервал лежащий внутри О и содержащий внутри себя Для достаточно больших номеров значения лежат в Для этого интервала существуют функции и целое неотрицательное число такие, что на Очевидно, что на Поскольку равномерно сходящиеся последовательности являются обобщенно сходящимися, мы можем также написать

Применяя формулу (7) к обобщенным функциям получим

в силу (8) и 21.1.

Отсюда по индукции получаем

т. е. на Отсюда следует теорема 21.2, поскольку интервал произволен.

Мы не будем обсуждать здесь вопрос коммутирует ли переход к пределу с произвольным регулярным действием.