§ 23. Локально сходящиеся последовательности обобщенных функций

Может случится, что известно следующее свойство последовательности обобщенных функций для любой точки из О существует интервал, лежащий внутри О и содержащий на котором сходится. Цель этого параграфа — показать, что в таком случае сходится на О. Мы сформулируем также некоторые важные следствия.

Если непрерывные функции определены на множествах то их произведение определено на общей части множеств Более того, мы условимся считать, что это произведение определено также и имеет значение 0 во всех точках, в которых по меньшей мере один из множителей или определен и имеет значение 0.

В следующих двух леммах означает гладкую функцию, определенную всюду и обращающуюся в нуль вне интервала лежащего внутри данного открытого множества интервал, лежащий внутри О и содержащий I внутри себя.

Лемма 1. Если фундаментальная последовательность на О, то фундаментальна всюду.

Действительно, существуют гладкие функции и порядок такие, что на Очевидно, что всюду. Таким образом, последовательность фундаментальна. Аналогично фундаментальна, а значит, и последовательность

фундаментальна всюду. По индукции получаем, что последовательность т. е. фундаментальна всюду.

Если на О, то, согласно лемме 1, обобщенная функция а) определена всюду.

Лемма 2. Если последовательность обобщенных функций сходится на О, то Лоследовательность сходится всюду.

В самом деле, существуют непрерывные функции и порядок такие, что . Очевидно, что всюду. Таким образом, обобщенно сходится всюду. Аналогично, обобщенно сходится всюду. Отсюда вытекает, что последовательность

обобщенно сходится всюду. По индукции мы получаем, что последовательность т. е. сходится всюду.

23.1 Если каждая точка из О лежит в некотором интервале таком, что последовательность обобщенных функций сходится на то сходится на Иными словами? локально сходящиеся последовательности обобщенных функций являются сходящимися.

В самом деле, пусть -любой интервал, лежащий внутри О. Существует интервал У, лежащий, внутри О и содержащий I внутри, себя, Мы можем разбить на конечное число подинтервалов этом доказательстве означает интервал, а не число), таких, что каждый подинтервал лежцт внутри некоторого интервала на котором сходится.

Пусть характеристическая функция интервала такая функция, что

Аналогично пусть характеристическая функция интервала Если некоторая дельта-последовательность (см. параграф 14), то мы можем выбрать номер так, чтобы

Очевидно,

Произведение согласно лемме 2, сходится всюду, поскольку сходится на Поскольку же число интервалов конечно, всюду сходится и последовательность

Но на значит, сходится на Поскольку, наконец, интервал выбран произвольно внутри последовательность согласно предложению 20.7, сходится на О.

Предложение 22.3 утверждает, что последрвательиость Гладких функций обобщенно сходится т. и т. т., когда она фундаментальна. Отсюда мы Непосредственно получаем такое следствие:

23.2 Если каждая тонка из О лежит в некотором интервале на котором фундаментальна, то фундаментальна на О. Иными словами: локально фундаментальные последовательности фундаментальны.

Теперь мы уже можем доказать следующую важную теорему:

23.3 Пусть О — объединение открытых множеств 9, Если на каждом из множеств 0 так определена обоб щенная функция что эти обобщенныё функции равны друг другу на перекрывающихся открытых множествах, то существует такая обобщенная,

функция определенная на всем множестве О, что на каждом множестве 0.

В самом деле, пусть дельта-последовательность. Для всякого фиксированного гладкие функции совпадают друг с другом на тех множествах, на которых они одновременно определены. Таким образом, эти функции можно объединить в единую функцию (зависящую от ), определенную на объединении открытых множеств, на которых определены Последовательность является фундаментальной на всяком интервале, который лежит внутри по крайней мере одного из множеств 0. Поскольку объединение всех таких интервалов есть О, последовательность согласно 23.2, фундаментальна на О. Обобщенная функция обладает требуемым свойством, ибо на всяком множестве