§ 19. Действия над локально интегрируемыми функциями

Как и в случае непрерывных функций, возникает вопрос, будут ли действия в смысле обобщенных функций над локально интегрируемыми функциями совпадать с действиями, определенными непосредственно.

Мы будем говорить, что последовательность гладких функций к локально. интегрируемой функции если она сходится к почти всюду на О и, кроме того, если на любом интервале лежащем внутри О,

Если -сходится к то фундаментальна и . В самом деле, из (1) следует, что Отсюда, выполняя дифференцирование порядка 1, получаем на всяком интервале лежащем внутри О, и, следовательно, на всем множестве О.

Пусть А — регулярное действие; мы скажем, что локально интегрируемые функции удовлетворяют условию интегрируемости по отношению к А, если действие определено для этих функций и, кроме того, если существуют последовательности гладких функций -сходящиёся соответственно к и такие, что сходится к

Пусть А, как и в параграфе 17, обозначает действие в смысле обобщенных функций, соответствующее действию А.

19.1. Если локально интегрируемые функции удовлетворяют условию интегрируемости по отношению к регулярному действию А, то

Действительно, для любого интервала лежащего внутри О, имеем

Откуда следует, что на

и в силу принципа отождествления

С другой стороны, по определению обобщенных действий,

Стало быть, равенство (2) выполняется на Поскольку, интервал произволен, равенство (2) выполняется на О.

Все локально интегрируемые функции всегда удовлетворяют условию интегрируемости по отношению ко всем введенным нами действиям, за исключением дифференцирования. (Доказательства этих фактов не имеют ничего общего с теорией обобщенных функций, и нам нет нужды останавливаться на подробностях.) Следовательно, все: выкладки с локально интегрируемыми функциями, за исключением дифференцирования, можно производить обычным образом.

Может случиться, что для локально интегрируемой функции существуют как обычная производная, так и обобщенная производная, но что эти производные различны. Например, обычная производная функции Хевисайда одного вещественного переменного

является нулевой обобщенной функцией, а обобщенная производная от равна одномерной дельта-функции Дирака действительно, пусть любая -последовательность, тогда -сходится к значит,

В Теории Обобщенных Функций обычная производная играет скромную роль. Поэтому дифференцирование если нет специальной оговорки, всегда будет пониматься в Обобщенном смысле.

Единственными локально интегрируемыми функциями одного вещественного переменного, которые удовлетворяют условию интегрируемости по отношению к дифференцированию порядка 1, являются абсолютно непрерывные функции, т. е. функции с локально интегрируемой производной такой, что на каждом интервале лежащем внутри О,

Таким образом, справедливо следующее утверждение:

19.2. Если абсолютно непрерывная функция, то ее обобщенная производная совпадает с ее обычной производной.

Аналогичные условия можно сформулировать для производных высшего порядка, однако мы не будем входить здесь в подробности.