§ 20. Последовательности обобщенных функций

Мы говорим, что последовательность обобщенных функций сходится на О к обобщенной функции и пишем

т. и т. т., когда обобщенная функция определена на и для любого интервала лежащего внутри О, существуют порядок и непрерывные функции и такйе; что на

Согласно этому определению, предельная Обобщенная функция определена на всем множестве О, но это не обязательно имеет место для обобщенных функций (см., параграф 2).

Полезно заметить, что порядок в формулах (I) можно при необходимости заменить любым порядком . Действительно, если условия (1) выполнены, то

Предел, если таковой существует, единствен. Для доказательства этого нам нужна следующая вспомогательная теорема:

20.1. Если непрерывные функции сходятся к почти равномерно на О и если то

Согласно 14.1, для любого интервала лежащего внутри О, существуют такие гладкие функции

Пусть таково, что на Тогда значит, на Дифференцируя раз, мы пблучим на

Поскольку интервал I произволен, имеем на всем множестве О.

Теперь мы уже можем доказать единственность, предела. Пусть произвольный интервал, лежащий внутри О. Если

такие обобщенные функции, что существуют, непрерывные функции и порядки такие, что на и

Можно считать, (в противном случае мы могли бы заменить оба эти порядка третьим, ббльшим). Поскольку имеем в силу откуда вытекает, что на Поскольку произволен, предел единствен.

Непосредственно из определения предела вытекают утверждения:

20.2. Если последовательность непрерывных функций сходится почти равномерно, то она сходится и обобщенно к тому же самому пределу.

20.3. Если то для любой последовательности целых положительных чисел такой, что

20.4. Если то перемежающаяся последовательность

также сходится к

20.5 Если то для любого числа Если то

20.6. Если то для любого порядка

Эта простая теорема дает поразительные преимущества при выкладках с обобщенными функциями по сравнению с классическим Дифференциальным Исчислением, в котором необходимы дополнительные ограничения.

20.7. Если на всяком интервале, лежащем внутри О, то на всем множестве О.

Для любого интервала лежащего внутри О, существует интервал I, лежащий внутри О и содержащей внутри себя.

Поскольку на существуют порядок к и непрерывные функции которые удовлетворяют условиям (1). Но это и доказывает, что на О.

Мы говорим, что последовательность обобщенных функций является сходящейся на О т. и т. т., когда для любого интервала I внутри О существуют порядок к и непрерывные функции такие, что

20.8. Если последовательность обобщенных функций является сходящейся на О, то она сходится к некоторой обобщенной функции на О.

Предположим, что сходится на О. Пусть §" любая -последовательность. Мы докажем, что последовательность

является фундаментальной на О и что сходится к

В самом деле, пусть произвольный интервал, лежащий внутри О, и пусть -интервал, лежащий внутри О и содержащий внутри себя Существуют порядок к и непрерывные функции такие, что

В силу 14.2 имеем

Поскольку

последовательность является фундаментальной на Поэтому она представляет некоторую обобщенную функцию на . В силу (2) мы можем написать

Отсюда, дифференцируя раз", получаем

Следовательно,

Поскольку на дифференцируя раз, получим

Таким образом, на Из 20.7 следует, что на О, поскольку интервал произволен.