§ 8. Вычитание, сдвиг, дифференцирование

Мы собираемся дать теперь дальнейшие примеры регулярых действий.

Вычитание. Вычитание является регулярным действием. Действительно, если фундаментальные последовательности, то фундаментальна и

Доказательство аналогично доказательству из § 6. Таким образом мы определяем разность двух обобщенных функций формулой

Сдвиг. Сдвиг является регулярным действием. Точнее: если последовательность фундаментальна на открытом множестве О, то фундаментальна на сдвинутом множестве которое состоит из всех точек таких, что лежит в О. Таким образом, если обобщенная функция, определенная на О, то

обобщенная функция, определенная .на

Дифференцирование. Дифференцирование произвольного порядка является регулярным действием. Действительно, если последовательность фундаментальна, то, согласно 3.2, фундаментальна и Таким образом, мы определяем производную порядка для любой обобщенной функции полагая

Очевидно:

8.1. Каждая обобщенная функция имеет производные всех порядков.

Свойство 8.1 дает поразительные преимущества при выкладках с обобщенными функциями, облегчает эти выкладки и делает их более элегантными, чем выкладки в Классическом Анализе.