§ 16. Обобщенная функция как обобщение понятия непрерывной функции

Всякую непрерывную функцию можно рассматривать как обобщенную. При таком подходе теория обобщенных функций охватывает Классический Анализ.

Для того чтобы отождествить непрерывные функции с обобщенными, нам нужны две подготовительные леммы.

16.1. Если на интервале

Это утверждение справедливо при Будем доказывать его по индукции. Предположим, что оно справедливо для

некоторого порядка на интервале Тогда

на интервале основе индукционного предположения последний интеграл обращается в нуль. В силу произвольности мы получаем

16.2. Почти равномерно сходящиеся последовательности гладких функций эквивалентны т. и т. т., когда они сходятся к одной и той же непрерывной функции.

В самом деле, если последовательности сходятся почти равномерно к то они удовлетворяют условиям Таким образом, Обратно, если то для любого интервала лежащего внутри О, существуют гладкие функции и порядок которые удовлетворяют условиям А тогда на . В силу на Таким образом, пределы последовательностей совпадают.

Теперь мы уже можем установить соответствие между непрерывными функциями и некоторыми обобщенными.

Согласно 14.1, для любой непрерывной функции существует последовательность гладких функций Которая сходится к почти равномерно. Согласно 3.1, эта последовательность фундаментальна. Таким образом, каждой непрерывной функции соответствует обобщенная функция . В силу 16.2 это соответствие взаимно однозначно.

В дальнейшем мы всегда будем отождествлять непрерывную функцию с соответствующей обобщенной функцией . В частности, используя 14.1, мы можем написать

для любой непрерывной функции и произвольной -последовательности

Гладкие функции, разумеется, также являются обобщенными функциями; для них мы имеем более простое тождество

В частности, нулевая обобщенная функция, т. е. обобщенная функция, отождествляемая с функцией, равной нулю всюду, будет обозначаться через 0.

Благодаря введенному нами отождествлению понятие обобщенной функции является обобщением понятия непрерывной функции. Этим оправдывается использование для обобщенных функций тех же обозначений что и для функций.

16.3. Свертка обобщенной функции с гладкой функцией является гладкой функцией.

В самом деле, пусть Согласно 12.1, последовательность сходится почти равномерно к некоторой непрерывной функции Кроме того, для любого порядка последовательность также сходится почти равномерно, что вытекает из 12.1 и формулы (2) параграфа 12. По классической теореме имеет непрерывные первые частные производные, именно предел является частной производной по аргументу. То же самое рассуждение показывает, что имеет вторые производные, третьи производные и т. д. Таким образом, является гладкой функцией. С другой стороны, согласно определению свертки и отождествлению непрерывных функций с обобщенными.

Теперь мы можем написать тождество

для произвольной гладкой функции Действительно, заменяя в на получим