§ 6. Сложение

Действие сложения двух функций обладает следующим свойством:

1° Если последовательности фундаментальны, то фундаментальна и последовательность

Для дрказательства свойства 1° предположим, выбрав произвольный интервал внутри О, что порядки и функции таковы, что

Будем считать, что ибо каждый из порядков можно по произволу увеличить (см. 3.3). Поскольку

последовательность фундаментальна.

Свойство 1° позволяет распространить действие сложения на произвольные обобщенные функции Мы полагаем

Сумма, определенная таким способом, единственна, ибо она не зависит от выбора фундаментальных последовательностей Иными словами:

Действительно, последовательности

фундаментальны. Согласно 1°, будет фундаментальной и последовательность

откуда и вытекает наше утверждение.