§ 3. Фундаментальные последовательности гладких функций

Пусть О — некоторое открытое множество -мерном пространстве.

Последовательность гладких функций называется фундаментальной на т. и т. т., когда для каждого интервала I, лежащего внутри О, существуют порядок к и последовательность гладких функций такие, что

Порядок к и последовательность зависят, вообще говоря, от Согласно данному определению, ни одна из функций не обязана быть Определена на всем множестве О. Если открытое множество, на котором определена то для каждого интервала лежащего внутри О, существует такой номер что лежит внутри при Функции определены на интервале при и удовлетворяют на нем условиям

Из определения (при непосредственно следует, что

3.1. Всякая последовательность гладких функций, сходящаяся почти равномерно на О, является фундаментальной.

Дифференцируя раз соотношение мы получаем

3.2. Если фундаментальна, то и фундаментальна.

Полезно заметить, что порядок который входит в условие можно, при необходимости, заменить любым ббльшим порядком. Это вытекает из следующего утверждения:

3.3. Если последовательность удовлетворяет условиям и если то последовательность гладких функций

также удовлетворяет условиям с заменой на

Заметим также, что

3.4. Если последовательность является фундаментальной на всяком интервале I, лежащем внутри О, то она фундаментальна и на О.

Действительно, пусть произвольный интервал, лежащий внутри О, тогда имеется интервал лежащий внутри О и содержащий внутри себя. Поскольку последовательность фундаментальна на найдутся такие гладкие функции и порядок А, что условия будут выполнены На