§ 12. Свертка с гладкой функцией, обращающейся в нуль вне некоторого интервала

Покажем сначала, что гладкие функции, обращающиеся в нуль вне данного интервала но не обращающиеся в нуль всюду.

Функция

является гладкой. Она обращается в нуль при и положительна при

Произведение

также является гладким. Оно положительно при и обращается в нуль вне этого интервала.

Для произвольного интервала

мы определим функцию следующей формулой:

Эта функция обладает требуемыми свойствами: она гладкая, положительная на I и обращается в нуль вне интервала 7.

Пусть непрерывная или локально интегрируемая функция на открытом множестве О, и пусть непрерывна всюду и обращается в нуль вне интервалам

тогда под сверткой мы понимаем функцию

определенную на открытом множестве О, состоящем из всех таких точек что интервал

содержится внутри О. Свертку (1) можно записать в виде

если условиться считать, что произведение равно нулю, когда один из его Сомножителей равен нулю, независимо от того, определен ли второй сомножитель или нет.

Свертка непрерывной или локально интегрируемой функции с гладкой функцией (обращающейся в нуль вне интервала является гладкой функцией и

для любого порядка

Если и гладкая то для любого порядка будет справедлива также формула

Если на интервале

на интервале Отсюда следует, что

12.1. Если фундаментальна на О, а гладкая, то сходится почти равномерно на О.

Действительно, пусть некоторый интервал, лежащий внутри тогда интервал лежит внутри О. Поскольку фундаментальна на О, имеем

отсюда в силу (3), (2) и (4) получаем

Из предложений 12.1 и 3.1 следует, что свертка с гладкой функцией, обращающейся в нуль вне некоторого интервала, является регулярным действием.

Согласно общему методу, мы определим свертку произвольной обобщенной функции с гладкой функцией обращающейся в нуль вне интервала посредством формулы

При случае мы будем вместо писать также