§ 24. Обобщенные функции, зависящие от непрерывного параметра

Мы говорим, что непрерывная функция зависящая от непрерывного параметра а, сходится при равномерно на множестве I, и пишем

т. и т. т., когда определена на и для любого заданного числа существует такое число что для любого а, удовлетворяющего неравенству функция определена на всем множестве и удовлетворяет на нем неравенству

Мы говорим, что функция сходится при почти равномерно на открытом множестве О т. и т. т., когда на всяком интервале, лежащем внутри О.

Мы говорим, что обобщенная функция зависящая от непрерывного параметра а, сходится при -ххо к обобщенной функции на открытом множестве От. и когда определена на О и когда для любого интервала лежащего внутри О, существуют порядок и непрерывные

функции такие, что для а, достаточно близких к выполняются соотношения

В этом случае мы пишем

или

Предел если таковой существует, единствен. Доказательство аналогично доказательству для последовательностей.

В предыдущем определении безразлично, является ли а вещественным или комплексным числом. Параметр а может быть также переменной точкой в многомерном пространстве. В этом случае, разумеется, символ следует понимать, как расстояние между точками а и Предел в точке определяется аналогично.

Ясно, что

24.1 Если непрерывная функция зависящая от параметра, сходится почти равномерно, то она сходится и обобщенно к тому же самому пределу.

Как и для последовательностей, можно доказать, что переход к пределу коммутирует со всеми регулярными действиями, введенными в этой книге. Справедливы также аналоги теорем параграфов 21 и 23. Теперь мы можем определить дифференцирование обобщенных функций так же, как. и дифференцирование обычных функций. Действительно:

24.2. Для всякой обобщенной функции

Пусть -любой интервал, лежащий внутри О, и пусть интервал, лежащий внутри О и содержащий I внутри себя. Тогда Существуют порядок и непрерывная функция непрерывной производной такие, что на

Поскольку на I

мы имеем на

Сходимость имеет место на всем множестве О в силу произвольности интервала