§ 4. Определение обобщенных функций

Мы говорим, что две фундаментальные на О. последовательности эквивалентны на О, и пишем

когда перемежающаяся последовательность

фундаментальна.

Следующее условие, очевидно, необходимо и достаточно для того, чтобы последовательности были эквивалентны: для всякого интервала лежащего внутри О, существуют последовательности гладких функций и порядок такие, что

Последовательности и порядок зависят, вообще говоря, от

Из утверждения 3.3 следует, что

4.1. Порядок в условии можно, при необходимости, заменить любым ббльшим порядком

Легко видеть, что отношение рефлексивно и симметрично, т. е.

2° из следует

Оно также и транзитивно, т. е.

следует

Действительно, согласно предположению в 3°, для всякого интервала I, лежащего внутри О, существуют порядок и гладкие функции и удовлетворяющие условиям а также порядок I и гладкие функции такие, что

В силу предложения 4.1 можно считать, что Последовательности равномерно сходятся на к одному и тому же пределу, причем откуда и вытекает, что

Поскольку отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, множество всех последовательностей, фундаментальных на О, распадается на непересекающиеся классы (классы эквивалентности по отношению такие, что две фундаментальные последовательности попадают в один и тот же класс т. и т. т., когда они эквивалентны. Эти классы эквивалентности и называются обобщенными функциями (определенными на О). Таким образом, понятие обобщенной функции возникает путем отождествления эквивалентных фундаментальных последовательностей.

Обобщенная функция, определяемая фундаментальной последовательностью т. е. класс фундаментальных последовательностей, эквивалентных последовательности будет обозначаться символом Две последовательности фундаментальные на О, определяют одну и ту же обобщенную функцию т. и т. т., когда они эквивалентны. Таким образом,

Обобщенные функции будут обозначаться символами д., как и обычные функции. Следует подчеркнуть, что это обозначение — чисто символическое и что, вообще говоря, нельзя подставлять вместо переменного конкретные точки.