§ 17. Действия над непрерывными функциями

В параграфах 5—12 мы определили многочисленные действия над обобщенными функциями. Но ведь непрерывные функции являются обобщенными, стало быть, действия,

определенные ранее для обобщенных функций, определены также для непрерывных функций. Однако эти действия определены для непрерывных функций и непосредственно. Возникает вопрос о совместности этих двух определений.

Пока мы не докажем совместность обычных и обобщенных действий, мы будем использовать для них в этом параграфе различные символы. Если А — обычное действие, то соответствующее действие в смысле обобщенных функций обозначается А. Эти двойные обозначения не были нужны, пока не было установлено отождествление непрерывных функций с обобщенными, поскольку обычные действия выполнялись над непрерывными функциями, а обобщенные действия — над обобщенными; при этом не могло возникнуть никакое недоразумение.

17.1. Если регулярное действие, то

для гладких функций

Действительно, благодаря отождествлению мы можем писать . С другой стороны, по определению действий в смысле обобщенных функций, имеем что и доказывает (1).

Пусть дано регулярное действие мы скажем, что непрерывные функции удовлетворяют условию непрерывности по отношению к А, если определено для этих функций непосредственно, и, кроме того, существуют последовательности гладких функций сходящиеся почти равномерно к соответственно такие, что сходится почти равномерно к

17.2. Если непрерывные функции удовлетворяют условию непрерывности по отношению к регулярному действию А, то

Действительно, в силу отождествления мы имеем . С другой стороны, по определению действий в смысле обобщенных функций, что и доказывает формулу (2).

Все непрерывные функции удовлетворяют условию непрерывности по отношению ко всем введенным до сих пор действиям, за исключением дифференцирования. Следовательно, эти действия совпадают с обычными действиями над непрерывными функциями. Кроме того, все выкладки с непрерывными функциями, за исключением дифференцирования, можно производить обычным образом.

Легко видеть, что всякая функция которая непрерывна вместе со своей обычной производной удовлетворяет условию непрерывности по отношению к дифференцированию (по Стало быть, для таких функций обычная производная совпадает с производной в смысле обобщенных функций. Обоими обозначениями

и можно пользоваться как эквивалентными. По индукции мы получаем более общее предложение:

17.3. Пусть непрерывная функция, пусть ее обычная производная

непрерывна и пусть все промежуточные производные, встречающиеся при указанной последовательности дифференцирований, также непрерывны, тогда производная (3) совпадает с производной того же порядка в? смысле обобщенных функций.

Из 8.1 следует, что всякая непрерывная функция имеет обобщенные производные всех порядков. Если такая производная непрерывна и если все производные меньших порядков также непрерывны, то она совпадает с обычной производной. Может, однако, случиться, что некоторая обобщенная производная непрерывной функции является непрерывной функцией, но обычная производная того же порядка не существует вообще, в какой бы последовательности мы не производили дифференцирования -

Пусть, например, непрерывная функция одного вещественного переменного, не дифференцируемая в обычном смысле. Тогда функция

не имеет обычных производных

Соответствующие обобщенные производные равны, поскольку обобщенные производные не зависят от расположения символов Чтобы найти интересующую нас обобщенную производную, заметим, что в обычном, а значит, и в обобщенном смысле. Аналогично имеем в обобщенном смысле. Поскольку последовательность дифференцирований несущественна, мы имеем также в обобщенном смысле. Отсюда

мы получаем, что обобщенная производная Интересно отметить, что ни ни являются функциями. Этот пример показывает, что существуют обобщенные функции, которые не являются обычными функциями, но имеют в качестве некоторых производных непрерывные функции.

17.4. Всякая обобщенная функция, заданная на всяком интервале I, лежащем внутри О, является производной некоторого порядка от непрерывной функции.

В самом деле, пусть Согласно существуют порядок гладкие функции и непрерывная функция такие, что на

Отсюда на и

Теперь мы можем доказать следующее обобщение формулы (1) § 16:

17.5. Пусть — дельта-последовательность, а произвольная обобщенная функция, тогда

В самом деле, для всякого интервала лежащего внутри множества О, на котором, определена существуют порядок и непрерывная функция такие что на По формуле (1). § 16 имеем

откуда, дифференцируя раз, получим . В силу 15.1 формула (4) выполняется на всем множестве О.

Поскольку для любой гладкой функции из формулы (2) § что. рассматриваемая на всем пространстве, не равна нулевой обобщенной функции. Заметим, с другой стороны, что

(т. е. на открытом множестве всех , поскольку любая -последовательность сходится почти равномерно к О при