§ 27. Размерность обобщенных функций

Обобщенные функции, определенные на открытом подмножестве -мерного пространства, называются -мерными обобщенными функциями, или обобщенными функциями от переменных. Чтобы подчеркнуть количество

переменных, мы пишем, когда это необходимо, вместо

Мы собираемся теперь исследовать связь между -мер-ными обобщенными функциями и -мерными, постоянными по

Всякая функция от переменных однозначно определяет соответствующую функцию от переменных значение которой в точке при всех вещественных равно значению в точке

Таким образом, если -мерная функция определена на открытом подмножестве О -мерного пространства, то соответствующая -мерная функция определена на открытом множестве О всех точек -мерного пространства, таких, что лежит в , причем постоянна по

Легко видеть, что если последовательность -мерных гладких функций — фундаментальна на О, то соответствующая последовательность -мерных гладких функций будет фундаментальна на О. Обратное утверждение легко следует из 26.3. Таким образом,

27.1. Последовательность -мерных гладких функций является, фундаментальной на О т. и т. т., когда последовательность соответствующих -мерных функций фундаментальна на О.

Отсюда в силу определения эквивалентных последовательностей получаем

27.2. Две последовательности -мерных гладких функций эквивалентны на О т. и т. т., когда соответствующие последовательности -мерных функций и эквивалентны на О.

Согласно 27.1 и 27.2, всякая -мерная обобщенная функция на О определяет соответствующую -мерную обобщенную функцию на О, постоянную по причем это соответствие взаимно однозначно. Кроме того, всякая обобщенная функция на О, постоянная по соответствует некоторой обобщенной функции на .

Возникает вопрос, будут ли действия, выполненные над -мерными обобщенными функциями, давать тот же результат, что и действия, выполненные над соответствующими -мерными обобщенными функциями. Для того чтобы ответить на этот вопрос, обозначим через

-мерную гладкую функцию, соответствующую -мерной гладкой функции . По определению, В есть некоторое действие, выполняемое над -мерной гладкой функцией, его результатом является -мерная гладкая функция. Это действие регулярно. Поэтому оно распространяется на обобщенные функции при помощи формулы

Согласно определению, является -мерной обобщенной функцией соответствующей -мерной обобщенной функции

Предположим, что дано другое регулярное действие и что

Это равенство является точной формулировкой утверждения, что действие А, выполненное над -мерными гладкими функциями, дает результат, аналогичный результату для соответствующих -мерных функций.

Поскольку обе части предыдущего равенства являются суперпозициями регулярных действий, та же самая формула выполняется и для обобщенных функций

Наглядно наш результат формулируется следующим образом:

Всякое регулярное действие, выполненное над -мерными обобщенными функциями, дает результат, аналогичный результату этого действия над соответствующими -мерными обобщенными функциями, при условии, что это положение вещей имеет место для гладких функций.

Следующая теорема показывает, что предел последовательности -мерных обобщенных функций существует

когда существует предел соответствующей последовательности -мерных обобщенных функций, и что, кроме того, эти пределы соответствуют друг другу.

27.3. Последовательность -мерных обобщенных функций сходится на О к когда последовательность соответствующих -мерных обобщенных функций сходится на О к обобщенной функции соответствующей

Очевидно, что сходимость -мерной последовательности влечет сходимость -мерной последовательности к соответствующему пределу.

Обратно, предположим, что на О

Пусть — любой интервал, лежащий внутри , пусть I — интервал точек таких, что лежит в при и пусть любой интервал, лежащий внутри О и содержащий внутри себя. Из соотношения (2) следует, что все обобщенные функции у являются производными фиксированного порядка от непрерывных функций на Согласно 26.4, существуют функции постоянные по и такие, что на I

т. е. на имеем

Пусть гладкие функции, для которых

и пусть

Дифференцируя получим

Отсюда, по уже доказанной части теоремы 27.3, следует, что на

Значит, в силу (2),

и, согласно 22.3,

Отсюда для соответствующих обычных и обобщенных -мерных функций на имеем

и, согласно предложению 22.3,

Таким образом, в силу (4),

Эта сходимость имеет место на О, поскольку интервал произволен.

Обобщенные -мерные функции, постоянные по можно обозначать символом подобно -мерным обобщенным функциям, если исключено смешение. Аналогичное соглашение широко используется для обычных функций.

Все рассуждения этого параграфа остаются, конечно, справедливыми, если мы заменим произвольное множество переменных