§ 18. Локально интегрируемые функции

Мы видели в параграфе 17, что обобщенные функции охватывают класс непрерывных функций. Теперь мы покажем, что они охватывают также и более широкий класс функций, а именно — все локально интегрируемые функции. Читатель, не знакомый с теорией интеграла Лебега, может опустить параграфы 18 и 19, в которых мы имеем дело с такими функциями.

Напомним, что функция определенная на О, называется локально интегрируемой в т. и т. т., когда интеграл существует для всякого интервала лежащего внутри О.

Заметим сначала, что если непрерывная функция на интервале то на

где штрих означает дифференцирование порядка 11 Если мы предполагаем не непрерывность а только ее интегрируемость, то интеграл снова будет непрерывной функцией. В этом случае равенство (1) выполняется почти всюду, причем производная в левой части определяется как обычный предел (при выражения

где а означает . Левую часть равенства (1) можно, рассматривать как обобщенную

функцию, которая является обобщенной производной порядка от непрерывной функции Легко проверить, что эта обобщенная функция не зависит от выбора

Это замечание подсказывает нам следующее отождествление: обобщенная функция считается равной функции локально интегрируемой в когда для любого интервала лежащего внутри О, эта обобщенная функция является обобщенной производной

Из предложения 15.1 следует, что эта обобщенная функция, если только она существует, определяется локально. интегрируемой функцией однозначно. Мы покажем, что она ибо требуемым свойством обладает обобщенная функция

где произвольная -последовательность.

В самом деле, пусть любой интервал, лежащий внутри О, и пусть

В силу 14.1 последовательность сходится к почти равномерно на, Отсюда, согласно отождествлению непрерывных функций с обобщенными,

и, следовательно, т. е.

Таким образом, мы доказали, что всякая локально интегрируемая функция может быть отождествлена с обобщенной

Если -непрерывная функция, то сходится, согласно 14.1, к почти равномерно; таким образом, отождествление локально интегрируемых функций совпадает в этом случае с отождествлением параграфа 16.

Отождествление локально интегрируемых функций с обобщенными делает необходимым следующее определение: локально интегрируемые функции равны т. и т. т., когда они равны как обобщенные функции, т. е. т. и т. т., когда для любого интервала внутри О, т. е. т. и т. т., когда почти всюду.