§ 10. Подстановка

Пусть фиксированная гладкая функция на открытом -мерном множестве О, и пусть

Предположим, что значения лежат в открытом множестве О вещественных чисел у. Подстановка

будет регулярным действием над (при фиксированной Точнее: мы покажем, что если фундаментальна на О, то будет фундаментальной на О.

Пусть I — произвольный интервал, лежащий внутри О. Функция отображает I на интервал V, лежащий внутри О.

Заметим сначала, что если для некоторых гладких функций последовательность фундаментальна на то фундаментальной на I будет и последовательность Действительно, из соотношений

находим алгебраической выкладкой

Здесь производные образуют в силу 3.2 фундаментальные последовательности. Произведения этих производных на гладкие функции также являются фундаментальными последовательностями, поскольку умножение на гладкую функцию является регулярным действием. Таким образом, числитель в формуле (2) является фундаментальной последовательностью, как сумма фундаментальных последовательностей. Наконец, вся дробь в правой части является фундаментальной последовательностью, поскольку

эту дробь можно представить как произведение числителя на величину, обратную знаменателю.

По индукции получаем, что если фундаментальна, то и при любом целом неотрицательном фундаментальна.

Пусть теперь последовательность гладких функций, такая, что для некоторого целого

Тогда на Таким образом, является фундаментальной последовательностью, а значит фундаментальна и т. е. Поскольку интервал произволен, последовательность фундаментальна в силу 3.4 на всем множестве О. Итак, мы доказали, что подстановка данной гладкой функции удовлетворяющей условию (1), является регулярным действием. Согласно общему методу, мы определяем подстановку функции в произвольную обобщенную функцию заданную на О, посредством формулы

Обобщенная функция одномерна, т. е. определена на одномерном множестве; обобщенная функция -мерна, т. е. определена на -мерном множестве.

В параграфе 25 мы рассмотрим также более общий случай, когда внешняя обобщенная функция -мерна,