§ 28. Обобщенные функции с обращающейся в нуль m-й производной

Для того чтобы найти общий вид обобщенной функции! удовлетворяющей условию мы докажем три вспомогательные теоремы 28.1, 28.2 и 28.3.

28.1. Если -такая обобщенная функция, что на интервале а то при

имеет место разложение

на интервале

Действительно, пусть дельта-последовательность

Предыдущая формула следует тогда из аналогичного тейлоровского разложения для навешиванием на него скобок

28.2. Если на то на любом интервале I, лежащем внутри О, обобщенную функцию можно представать в виде

где на Кроме того, если является гладкой, непрерывной интегрируемой функцией на I, то таковыми же можно скатать

В самом деле, интервал лежит внутри некоторого интервала лежащего внутри О. Если на О, то, согласно постоянна по на Согласно 26.5, существуют порядок и непрерывная функция постоянная по такие, что на Можно считать, что Обобщенные функции обладают требуемыми свойствами.

Если гладкая, непрерывная или интегрируемая функция, мы можем получить непосредственно из заменяя в переменную на константу Тогда будет соответственно гладкой, непрерывной или (при надлежаще выбранном интегрируемой; такой же функцией будет Кроме того, Остается проверить, что т. е. что Это очевидно, если гладкая. Если непрерывна, то существует последовательность гладких функций

сходящаяся к почти равномерно и подчиненная условию Заменяя в переменное на мы получим последовательность гладких функций сходящуюся почти Из соотношений

следует, что

В случае интегрируемой доказательство остается таким же, только почти равномерную сходимость следует заменить -сходимостью.

28.3 Если то на любом интервале I, лежащем внутри О, обобщенную функцию можно представить в виде

где на Кроме того, если является гладкой, непрерывной или интегрируемой функцией, то таковыми же можно считать

В самом деле, положим

При достаточно малом функции будут определены Кроме того, если гладкая, Непрерывная или интегрируемая функция, то таковыми же будут Поскольку имеем, в силу на Отсюда вытекает, что Дифференцируя вторую из формул (1), найдем

Правая часть, согласно 28.1, обращается в нуль, поскольку

28.4. Равенство выполняется на О т. и т.т., когда на каждом интервале I, лежащем внутри О, обобщенная функция может быть представлена в виде

где обобщенные функции постоянны по Кроме того, если является гладкой, непрерывной или интегрируемой функцией, то таковыми же можно считать и все коэффициенты (Если для некоторого то соответствующую сумму в формуле (2) следует заменить нулем.)

Действительно, легкая проверка показывает, что если формула (2) имеет место на I, то на Поскольку нроизволен, имеем на О.

Обратно, пусть на О, докажем формулу (2) по индукции. Заметим сначала, что разложение (2) тривиально, если Предположим, что оно имеет место для некоторого Достаточно показать, что соответствующая формула справедлива для Если то это утверждение следует из 28.2; если то утверждение следует из 28.3.

Заметим, что представление (2) не единственно. Пусть, например, тогда можно написать также