§ 13. Выкладки с обобщенными функциями

При выкладках бывают полезны разнообразные - тождества, например

Все эти формулы, а, также многие другие можно распространить на обобщенные функции. Нам не нужно проверять справедливость этого распространения для каждой формулы отдельно. Мы дадим простое правило, которое позволяет укааать обширный, класс формул, справедливых как для гладких функций, так и для обобщенных функций, Это

правило основано на понятии суперпозиции действий. Например, выражение является суперпозицией сложения и умножения (на число X).

Вообще, под суперпозицией действий мы понимаем выражение

где данные действия. В каждом из Пяти примеров, приведенных в начале этого параграфа, имеет место равенство между суперпозициями действий при условии, что в рассмотрении участвует тождественное действие Это тождественное действие тривиально является регулярным действием. В примерах (1) фигурируют суперпозиции только регулярных действий. Из определения регулярных действий непосредственно следует, что регулярное действие над регулярными действиями в свою очередь является регулярным действием.

Смысл формул (1) состоит в том, что левая и правая части каждого равенства представляют одно и то же действие. Все эти действия регулярны, а потому их распространения на обобщенные функции — однозначны. Отсюда вытекает, что те же самые формулы будут справедливы, если мы заменим гладкие функции на обобщенные функции.

Точно также суперпозиции второго порядка, т. е. суперпозиции суперпозиций регулярных действий, являются регулярными действиями; тем же свойством обладают и суперпозиции произвольного конечного порядка, т. е. любые конечные суперпозиции регулярных действий. Таким образом, выполняется следующее общее правило;

13.1. Если равенство, обе части которого являются конечными суперпозициями регулярных действий, выполняется для гладких функций, то оно выполняется также и для произвольных обобщенных функций.

Это правило представляет не только теоретический, но, прежде всего, также и практический интерес, ибо оно позволяет производить выкладки с обобщенными функциями в точности так же, как с гладкими функциями, при условии, что все действия, встречающиеся в этих выкладках, регулярны.