§ 7. Регулярные действия

Умножение на данное число X является действием над одной функцией (или обобщенной функцией). Сложение является действием над двумя функциями (или обобщенными функциями). В общем случае мы можем рассматривать действия над произвольным числом функций и распространять -их на обобщенные функции. Метод распространения всегда одинаков. Повторять эти рассуждения в каждом частном случае скучно и не нужно. В этом параграфе мы покажем в общем виде, что распространение на обобщенные функции осуществимо для обширного класса действий.

Обозначим символом

некоторое действие над конечным числом функций Предположим, что это действие облагает следующим свойством:

1° Если последовательности Фундаментальны, то фундаментальна и последрвательность

Такое действие мы распространим на обобщенные функции полагая

Это распространение единственно, оно не зависит от выбора фундаментальных последовательностей

Иными словами:

Действительно, по предположению последовательности

фундаментальны. Согласно 1°, будет фундаментальной и последовательность

откуда и вытекает наше утверждение.

Все действия обладающие свойством 1°, мы будем называть регулярными действиями. Всякое регулярное действие, определенное на гладких функциях, распространяется автоматически на обобщенные функции. Это распространение всегда единственно.

Как мы видели в параграфах 5 и 6, умножение на число и сложение являются регулярными действиями.